3·37

第 9 讲 · Y–Δ 转换 (wye–delta) · 41:00

有些电阻网络（比如不平衡电桥）找不到任何串联或并联可以合并。Y–Δ 转换把一个三端网络换成另一个三端网络，三个端子之间的关系完全不变，之后就能继续化简。

Δ 里每个电阻按"它对面的端子"命名：

R_a

对着端子 1（接在 2、3 之间），依此类推。

公式

Δ → Y：Y 的某条臂 = 碰到这个端子的两个 Δ 电阻之积 ÷ 三个 Δ 电阻之和。

R_1 = \frac{R_b R_c}{R_a+R_b+R_c},\quad R_2 = \frac{R_a R_c}{R_a+R_b+R_c},\quad R_3 = \frac{R_a R_b}{R_a+R_b+R_c}

Y → Δ： $S = R_1R_2 + R_1R_3 + R_2R_3$ ， $R_a = S/R_1,\ R_b = S/R_2,\ R_c = S/R_3$ 。分母是"对面那条 Y 臂"。

快速检查

三个 Δ 电阻都等于 $R_\Delta$ 时，Y 每臂 $= R_\Delta/3$ 。任意两端之间（第三端悬空）：Y 是 $2R_\Delta/3$ ，Δ 是 $R_\Delta \parallel 2R_\Delta = 2R_\Delta/3$ ✓。

练习 Y1 · 自编 · 不平衡电桥

练习 Y1：没有任何串联或并联可以直接合并。

求 A、B 之间的等效电阻。

提示

把上面的三角形 A–C–D 换成 Y。

Δ A–C–D：6、3、9 Ω，和 18 Ω。换成 Y（中心 N）：A 臂 $= 6 \times 3/18 = 1\,\Omega$ ；C 臂 $= 6 \times 9/18 = 3\,\Omega$ ；D 臂 $= 3 \times 9/18 = 1.5\,\Omega$ 。

左支路 3 + 3 = 6 Ω，右支路 1.5 + 4.5 = 6 Ω，并联 3 Ω。 $R_{AB} = 1 + 3 = 4\,\Omega$ 。

检验：A 注入 1 A、B 接地，节点法解得 $v_A = 4$ V ✓。