YC.
3·33

5.6 最大功率传输 (maximum power transfer) · 第 9 讲 35:00

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+ − Vs Rs RL I
图 9-4（第 9 讲 35:00）：源 VsV_s、内阻 RsR_s 固定，只能调负载 RLR_L。

源 VsV_s 和内阻 Rs>0R_s > 0 固定，只能调负载 RL≥0R_L \ge 0：

I=VsRs+RL,PL=I2RL=Vs2 RL(Rs+RL)2I = \frac{V_s}{R_s + R_L},\qquad P_L = I^2 R_L = \frac{V_s^2\,R_L}{(R_s+R_L)^2}

对 RLR_L 求导（商的求导法则）：

dPLdRL=Vs2 (Rs+RL)2−2RL(Rs+RL)(Rs+RL)4=Vs2 Rs−RL(Rs+RL)3\frac{dP_L}{dR_L} = V_s^2\,\frac{(R_s+R_L)^2 - 2R_L(R_s+R_L)}{(R_s+R_L)^4} = V_s^2\,\frac{R_s - R_L}{(R_s+R_L)^3}

RL<RsR_L < R_s 时导数为正，RL>RsR_L > R_s 时为负，所以

结论 RL=Rs (=Rth),PL,max⁡=Vs24RsR_L = R_s\ (=R_{th}),\qquad P_{L,\max} = \frac{V_s^2}{4R_s}

对任何线性网络：先对负载两端求戴维南，再令 RL=RthR_L = R_{th}，Pmax⁡=Vth2/(4Rth)P_{\max} = V_{th}^2/(4R_{th})。

0 0.5 1 0 1 2 3 4 5 6 效率 η PL / Pmax 匹配：RL = Rs η = 50%
横轴是 RL/RsR_L/R_s。蓝线：负载功率，峰值在 RL=RsR_L = R_s。橙线：效率 η=RL/(Rs+RL)\eta = R_L/(R_s+R_L)，匹配时只有 50%，RLR_L 越大效率越高。
直觉（老师的说法）

负载很小：电流大，但负载上几乎没电压，功率 ≈ 0。负载很大：电压接近 VsV_s，但几乎没电流，功率 ≈ 0。两头都是 0，中间一定有最大值。匹配时负载电压正好是 Vs/2V_s/2。

两个常见陷阱
  1. 最大功率 ≠ 最高效率。匹配时内阻和负载各消耗一半。电网要效率，RL≫RsR_L \gg R_s；天线、接收机要从微弱信号里拿最多功率，才做匹配。之后学阻抗时会推广为共轭匹配 (complex conjugate matching)。
  2. 反过来问：RLR_L 固定、RsR_s 可调呢？这时 PL=Vs2RL/(Rs+RL)2P_L = V_s^2 R_L/(R_s+R_L)^2 随 RsR_s 单调下降，最好的是 Rs=0R_s = 0，不是 Rs=RLR_s = R_L。匹配条件只在"源固定、调负载"时成立（第 9 讲列的前提）。
例 5-6

自编 有受控源时的最大功率

+ − 10 V R2 = 2 Ω 0.5 va R1 = 2 Ω a b
沿用例 5-3 的电路，在 a、b 之间接可调负载 RLR_L。

RLR_L 取多少时功率最大？最大功率多少？

例 5-3 已经求出 Vth=10V_{th} = 10 V、Rth=2 ΩR_{th} = 2\,\Omega（受控源保留算出来的那个，不是错误的 1 Ω）。

RL=2 Ω,Pmax⁡=1024×2=12.5 WR_L = 2\ \Omega,\qquad P_{\max} = \frac{10^2}{4 \times 2} = 12.5\ \text{W}

检验：RL=2 ΩR_L = 2\,\Omega 时 I=10/4=2.5I = 10/4 = 2.5 A，P=2.52×2=12.5P = 2.5^2 \times 2 = 12.5 W ✓。如果用了错的 Rth=1 ΩR_{th} = 1\,\Omega，会选 RL=1 ΩR_L = 1\,\Omega，实际只得到 (10/3)2×1≈11.1(10/3)^2 \times 1 \approx 11.1 W。

补充练习

练习 P1 · 用第 9 讲电路 · 问题自编
+ − 36 V 4 Ω 4 Ω 3 Ω 6 Ω RL C L R
把例 9-1 中间的 2 Ω 换成可调电阻 RLR_L。

RLR_L 取多少时它得到的功率最大？最大功率多少？原来的 2 Ω 拿到了多少？

提示

从 L、R 两点看进去。第 09 节例 9-1 求过左右两边各自的戴维南。

左边是 18 V 串 2 Ω，右边是 24 V 串 2 Ω（见例 9-1）。从 L、R 看：Vth=18−24=−6V_{th} = 18 - 24 = -6 V（功率只看大小），Rth=2+2=4 ΩR_{th} = 2 + 2 = 4\,\Omega。

RL=4 Ω,Pmax⁡=624×4=2.25 WR_L = 4\ \Omega,\qquad P_{\max} = \frac{6^2}{4 \times 4} = 2.25\ \text{W}

原来的 2 Ω：电流 1 A，功率 2 W，略小于最大值。

老师可能问回答
RL=RsR_L = R_s 的前提？VsV_s、RsR_s 固定且 Rs>0R_s > 0，只调负载。
匹配时效率多少？50%。最大功率不是最高效率。
匹配时负载电压？Vs/2V_s/2。