3·31

5.4 戴维南定理 (Thévenin's theorem) · 第 8 讲 28:00

直觉：一端口就是它的 i-v 特性，戴维南说这条线是直线

第 2–3 讲的出发点是：把电路的一部分装进黑盒，只留两个端子 a、b，外界能感知的就只有端口关系 (terminal relation)，也就是端口电压 $v$ 和端口电流 $i$ 之间的 i-v 特性。两个盒子只要 i-v 一样，接任何负载都分辨不出来。第 8 讲的检查题也是这个意思：接一个二极管负载分辨不出精确的戴维南和诺顿等效，因为两者施加同样的端口关系。

所以"i-v 完全刻画一端口"确实是第 2 章的旧结论。戴维南/诺顿在它上面只多说了一句话：

戴维南/诺顿真正新增的内容

不管线性网络内部多复杂，它的 i-v 特性一定是一条直线：

v = V_{th} - R_{th}\, i \qquad (i \text{ 从 + 端 a 流出})

直线由两个数确定，所以整个网络能换成两个元件。 $V_{oc}$ 和 $I_{sc}$ 就是这条直线和两根坐标轴的交点， $R_{th}$ 是斜率（取负号）。

"i-v 完全刻画一端口"是旧结论，"线性 ⇒ i-v 是直线"才是定理本身。下面先用一个具体电路把这条直线算出来，再说它为什么一定是直线。

先算一个：直接写 KCL 就得到这条直线

一个具体的线性一端口。端口电压

v

（a 对 b），端口电流

i

从 a 流出去给负载。

端口接什么先不管，只把端口电流 $i$ 当成一个未知的参数，在节点 a 写 KCL（流出 a 的电流之和为 0）：

\frac{v-24}{4} + \frac{v}{4} + i = 0 \quad\Longrightarrow\quad v = 12 - 2i

这就是这个盒子的 i-v 特性，确实是一条直线。从这一行可以直接读出所有东西：

怎么读	结果	意思
令 $i = 0$	$v = 12$ V	开路电压 $V_{oc}$ ：端口什么都不接时 a、b 之间的电压
令 $v = 0$	$i = 6$ A	短路电流 $I_{sc}$ ：拿导线把 a、b 短接时导线里的电流
看 $i$ 前面的系数	$2\,\Omega$	$R_{th}$ ：每多输出 1 A，端口电压掉 2 V。也等于 $V_{oc}/I_{sc} = 12/6$ ，还等于 24 V 置零后的 $4 \parallel 4$

所以戴维南等效就是 12 V 串 2 Ω，诺顿等效就是 6 A 并 2 Ω。它们和原电路有同一条 $v = 12 - 2i$ ，所以从 a、b 看完全一样。 $V_{oc}$ 、 $I_{sc}$ 不是什么新的物理量，只是这条直线上两个特别好读的点。

用第 2 章的积木看：串联上下移，并联左右移

约定：纵轴 $v$ ，横轴 $i$ ， $i$ 从 + 端 a 流出（和第 8 讲 28:00 的 $v = V_{th} - R_{th}i$ 一致）。第 2 讲提醒过，横线竖线取决于哪根轴画 $v$ ；这里纵轴是 $v$ ，所以和"i 对 v"的图正好横竖对调。

为什么 i 取"从 + 端流出"

这只是参考方向的约定，物理完全一样。戴维南这个盒子的角色是给负载供电，所以电流从它的 + 端流出、流进负载的 + 端。这样对负载来说正好是无源符号约定 (passive sign convention)：负载上 $v = R_L i$ ， $V_{oc}$ 、 $I_{sc}$ 和工作点都是正数，画在第一象限。也就是"有源约定 (active / source convention) 看盒子，无源约定看负载"，两边用的是同一个 $i$ 。

如果对盒子也用无源约定（ $i'$ 流进 a， $i' = -i$ ），同一条线就写成 $v = V_{th} + R_{th} i'$ ，短路电流变成 $i' = -V_{th}/R_{th}$ ，带个负号，意思不变：短路时电流其实是从 a 流出去的。

求 $R_{th}$ 的"外加测试源"方法里，电流取的是流进 a 的 $i_t$ ：内部独立源已经关掉，盒子只剩电阻，被测试源供电，所以对它用无源约定， $R_{th} = v_t/i_t$ 才是正的。两种方向在同一节里都会出现，看清楚每次是谁在供电。

东西	端口关系	在 v-i 图上
电阻 $R$ 单独当一端口	$v = -R\,i$ （电流从 + 端流出，所以带负号）	过原点，斜率 $-R$
理想电压源 (ideal voltage source)	$v = V_s$ ，电流随便	水平线
理想电流源 (ideal current source)	$i = I_s$ ，电压随便	竖直线
串联 (series)：同一电流，电压相加	$v = v_1(i) + v_2(i)$	把曲线上下叠加
并联 (parallel)：同一电压，电流相加	$i = i_1(v) + i_2(v)$	把曲线左右叠加

第 3 讲设计二极管分段线性特性时用的就是最后一行："并联在同一电压下把电流相加"。现在把它用在电阻 + 源上：

戴维南 = 电阻串一个电压源 $V_{th}$ = 电阻线往上平移 $V_{th}$ 。
诺顿 = 电阻并一个电流源 $I_N$ = 电阻线往右平移 $I_N$ 。
斜率为 $-R$ 的直线，上移 $V$ 和右移 $V/R$ 得到的是同一条线。源变换 (source transformation) 的条件 $V_{th} = R_{th} I_N$ 说的就是这件事。

灰色虚线：

R_{th} = 2\,\Omega

单独（内部独立源全部置零）。蓝线：上移 12 V 得到戴维南，或右移 6 A 得到诺顿，是同一条线。

为什么任何线性网络都是直线

上面的例子是算出来恰好是直线。对任意线性网络都成立的理由如下。这段推导是我补的，讲义只陈述了定理；用到的两块都是课上讲过的：第 8 讲的叠加定理 (superposition) 和第 9 讲 24:00 的替代定理 (substitution)。

外面接什么都无所谓。用替代定理把外部负载换成一个电流源，大小正好是端口电流 $i$ （从 a 流出）。
现在网络里的激励 = 内部所有独立源 + 这个"测试电流源"。网络是线性的，所以可以叠加： $v = \underbrace{v\big|_{\text{只留内部源},\ i=0}}_{\text{第一项}} \;+\; \underbrace{v\big|_{\text{内部独立源置零},\ \text{只留 } i}}_{\text{第二项}}$
第一项： $i = 0$ 就是开路，所以它就是 $V_{oc}$ 。
第二项：内部只剩电阻和受控源，响应正比于 $i$ ，比例系数记作 $-R_{th}$ 。

v = V_{oc} - R_{th}\, i

对照上面的例子：第一项是 24 V 单独作用、端口开路时的 12 V；第二项是 24 V 短路后，从端口抽 $i$ 时 $4 \parallel 4 = 2\,\Omega$ 上的 $-2i$ 。

所以 $V_{th} = V_{oc}$ 不是凭空规定的，它是叠加里"负载电流为零"的那一项； $R_{th}$ 是"内部独立源全关掉"那一项的斜率。这也解释了求 $R_{th}$ 的规则：独立源置零，因为它们属于第一项；受控源保留，因为它们是第二项里的"系统"本身（第 8 讲：受控源属于系统矩阵）。

线性买来的是压缩

非线性一端口（比如第 3、7 讲的二极管网络）照样被 i-v 完全刻画，第 2 章那句话照样成立。但它的曲线是弯的或分段的，得给出整条曲线。线性把"无穷多个点"压缩成"两个数"，戴维南定理说的就是这件事。

$V_{oc}$ 和 $I_{sc}$ 到底是什么

它们是你能对这个盒子做的两个最极端的实验：

实验	相当于接	强制	读到	图上
开路 (open circuit)	电阻 $R_L = \infty$	$i = 0$	$V_{oc}$	直线和纵轴的交点
短路 (short circuit)	电阻 $R_L = 0$	$v = 0$	$I_{sc}$	直线和横轴的交点

任何负载电阻在同一张图上是过原点的线 $v = R_L\, i$ （对负载来说电流从它的 + 端流进去，所以斜率为正）。 $R_L \to \infty$ 时这条线就是纵轴， $R_L = 0$ 时就是横轴。所以两根坐标轴本身就是"开路负载线"和"短路负载线"， $V_{oc}$ 、 $I_{sc}$ 只是这两个特殊负载下的工作点。接别的负载，工作点就是网络直线和负载线的交点。

网络

v = 12 - 2i

接三个负载：6 Ω → (1.5 A, 9 V)，2 Ω → (3 A, 6 V)，0.5 Ω → (4.8 A, 2.4 V)。负载越重（

R_L

越小），工作点沿蓝线越往右下滑，一直滑到短路点

I_{sc}

。

为什么偏偏挑这两个点？只是因为好算也好测：开路时不用管负载电流，短路时不用管负载电压。任意两个点都能定一条直线。

求 $R_{th}$ 的三种方法

方法	怎么做	什么时候能用	在图上做的事
关源看电阻	独立源置零（电压源短路、电流源开路），从 a、b 往里看，串并联化简	只在没有受控源时	直接得到灰色虚线（第二项）的斜率，再配一个 $V_{oc}$ 定位
开路电压 / 短路电流	$R_{th} = v_{oc}/i_{sc}$ ，受控源保留	总能用（除非两者都是 0）	取两个截距
外加测试源 (test source)	独立源置零、受控源保留；端口加 1 V 算流进去的电流 $i_t$ ， $R_{th} = 1/i_t$ ；或加 1 A 算电压	有受控源时最稳	在灰色虚线上取一个点读斜率

有受控源时的两个特殊情况

网络里只有受控源、没有独立源： $V_{oc} = 0$ 、 $I_{sc} = 0$ ， $V_{oc}/I_{sc}$ 是 0/0，只能用外加测试源（例 5-4）。
受控源可以让 $R_{th}$ 为负。这不是算错，说明网络会向外送功率（有源）。

例 5-2

板书·已核对用第 8 讲电路 · 从目标电阻看进去

把例 8-1 中求

i

的那个 4 Ω 拿掉，求从 b、地看进去的戴维南等效。（问题自编，电路是第 8 讲板书。）

这能解释为什么例 8-1 的 $i = 0$ 。

方法：只有独立源 → $R_{th}$ 可以关源看电阻； $V_{oc}$ 用节点法。

$R_{th}$ ：12 A、8 A 开路，64 V 短路。从 b 往里：4 Ω 到 a，a 到地是 4 Ω ∥ 8 Ω = 8/3 Ω。 $R_{th} = 4 + 8/3 = 20/3\,\Omega$ 。

$V_{oc}$ ：拿掉目标电阻后，b 只连着 a 侧的 4 Ω 和 8 A 源，所以 8 A 全部从 a 经 4 Ω 流到 b： $v_b = v_a - 32$ 。KCL @ a（流出为正）：

\frac{v_a}{4} + 8 + \frac{v_a - 64}{8} = 12 \;\Rightarrow\; v_a = 32\ \text{V},\quad V_{th} = v_b = 0

答：戴维南等效是 0 V 串 20/3 Ω。不管 b 和地之间接多大的电阻，电流都是 0。例 8-1 的 $i = 0$ 不是巧合。

例 5-3

自编有受控源：三种方法各做一次

例 5-3：受控电流源

0.5\,v_a

从地往上注入节点 a，

v_a

就是端口电压。

求从 a、b 看进去的 $V_{th}$ 和 $R_{th}$ 。再看看"关源看电阻"时把受控源删掉会错在哪。

开路电压（端口不接东西，KCL @ a，流出为正，受控源是流入）：

\frac{v_a-10}{2} + \frac{v_a}{2} - 0.5v_a = 0 \;\Rightarrow\; 0.5v_a = 5 \;\Rightarrow\; V_{th} = 10\ \text{V}

短路电流：a 接地， $v_a = 0$ ，受控源电流 $0.5 \times 0 = 0$ ， $R_2$ 也没电流，10 V 经 $R_1$ 的电流全部流进短路线： $I_{sc} = 10/2 = 5$ A。 $R_{th} = 10/5 = 2\,\Omega$ 。

测试源：10 V 短路，在 a 加电压 $v$ ，流进 a 的电流 $i_t = \frac{v}{2} + \frac{v}{2} - 0.5v = 0.5v$ ， $R_{th} = v/i_t = 2\,\Omega$ ✓。

错误做法

把受控源删掉再看电阻： $2 \parallel 2 = 1\,\Omega$ ，错。这个受控源相当于一个 $-2\,\Omega$ 的负电阻，正好抵消 $R_2$ （ $\tfrac12 - 0.5 = 0$ ），所以从端口只看得到 $R_1$ 。

答：10 V 串 2 Ω；诺顿形式 5 A 并 2 Ω。检验 $V_{oc} = R_{th} I_{sc} = 2 \times 5 = 10$ ✓。

例 5-4

自编只有受控源：必须外加测试源

例 5-4：受控电压源

0.5\,v_a

（+ 端在上）串 2 Ω 接到 a，a 经 4 Ω 到地。右边的

i_t

是我们外加的测试电流源，不是电路本身的一部分。

求从 a、b 看进去的戴维南等效。

方法：没有独立源，所以 $V_{th} = 0$ ，开路/短路都给 0，只能外加测试源。在 a 加电压 $v$ ，算流进 a 的电流（KCL @ a）：

i_t = \frac{v}{4} + \frac{v - 0.5v}{2} = \frac{v}{4} + \frac{v}{4} = \frac{v}{2} \;\Rightarrow\; R_{th} = \frac{v}{i_t} = 2\ \Omega

答：等效就是一个 2 Ω 电阻（ $V_{th} = 0$ ）。

变一下增益

如果受控源是 $3\,v_a$ ： $i_t = \frac{v}{4} + \frac{v - 3v}{2} = -\frac{3v}{4}$ ， $R_{th} = -\frac43\,\Omega$ 。负电阻：你往 a 加正电压，电流反而从 a 流出来。只有受控源能做到这一点。

例 8-2

板书·未核对汽车电池的戴维南模型（第 8 讲 36:00）

老师的设定：12 V 电池，假设短路电流大约就是"冷启动电流 600 A"。

R_{th} = \frac{V_{oc}}{I_{sc}} = \frac{12}{600} = 0.02\ \Omega,\qquad \text{诺顿：} 600\ \text{A} \parallel 0.02\ \Omega

老师说明这是简化：冷启动电流并不真是短路电流，只是借来讲概念。追问：把它和一节 1.5 V（内阻 1 Ω）的小电池并联，会怎样？

图 8-3（第 8 讲 36:00 的口头例，按讲义描述重画）。老师特别说明：现实里别这么接。

两个理想电压源不能直接并联（一个要 12 V、一个要 1.5 V，矛盾），但它们都有内阻，矛盾被内阻吸收。回路电流：

I = \frac{12 - 1.5}{0.02 + 1} \approx 10.29\ \text{A}

这股电流在两节电池之间循环，小电池被强行"充电"10 A，会烧坏。组合后的戴维南等效： $V_{oc} \approx 12 - 0.02 \times 10.29 \approx 11.79$ V； $R_{th} = 0.02 \parallel 1 \approx 0.0196\,\Omega$ （两个源置零后两个内阻并联）。

课堂梗 · 戴维南

老师可能问	回答
戴维南电压测的是什么？	端口电流为 0 时的端口电压。
负载必须是线性的吗？	不必。要求线性的是被等效掉的那部分；负载可以是二极管，工作点就是直线和二极管曲线的交点。
接一个二极管能分辨戴维南和诺顿等效吗？	不能。两者端口关系完全一样，任何负载都分辨不出来。
理想电流源有戴维南等效吗？	没有有限的。它是 $R_N = \infty$ 的诺顿形式（第 8 讲说它是退化情况）。
有电容电感时呢？	电阻要换成阻抗或算子，还要处理初始条件，不是一个固定电阻（后面 Heaviside 算子部分）。
$V_{th}$ 是网络里某个源的电压吗？	不一定。它是所有内部源共同作用、端口开路时的电压（24 V 的例子里是 12 V）。

直觉：一端口就是它的 i-v 特性，戴维南说这条线是直线

先算一个：直接写 KCL 就得到这条直线

用第 2 章的积木看：串联上下移，并联左右移

为什么任何线性网络都是直线

VocV_{oc}Voc​ 和 IscI_{sc}Isc​ 到底是什么

求 RthR_{th}Rth​ 的三种方法

板书·已核对 用第 8 讲电路 · 从目标电阻看进去

自编 有受控源：三种方法各做一次

自编 只有受控源：必须外加测试源

板书·未核对 汽车电池的戴维南模型（第 8 讲 36:00）