3·59

第 2 题 · 网孔法 + 超网孔

第 2 题

三个网孔电流都取顺时针 (cw)。30 V 源 + 端在上；2 A 电流源箭头朝下。

(a) 求 $i_1, i_2, i_3$ 。
(b) 2 A 电流源两端的电压（上 + 下 −）是多少？它吸收还是供出功率？

提示（先自己试 3 分钟）

2 A 源在网孔 2、3 的共用支路上，两端电压未知，所以网孔 2、3 不能各自写 KVL。约束：朝下的支路电流 = $i_2 - i_3 = 2$ 。超网孔沿外圈 6 Ω → 4 Ω → 2 Ω → 4 Ω 走。

看解答

超网孔边界绕开电流源支路。

网孔 1（顺时针，往上穿过 30 V 源是从 − 到 +，电压升高）： $-30 + 2i_1 + 6(i_1 - i_2) = 0 \Rightarrow 8i_1 - 6i_2 = 30$ 。
约束： $i_2 - i_3 = 2$ 。
超网孔： $6(i_2 - i_1) + 4i_2 + 2i_3 + 4i_3 = 0 \Rightarrow -6i_1 + 10i_2 + 6i_3 = 0$ 。
代入 $i_2 = i_3 + 2$ ： $8i_1 - 6i_3 = 42$ ， $-6i_1 + 16i_3 = -20$ ，解得 $i_3 = 1$ 。

i_1 = 6\ \text{A},\quad i_2 = 3\ \text{A},\quad i_3 = 1\ \text{A}

(b) 电流源上端的电压 = 沿网孔 3 右半边走到地： $v = 2 i_3 + 4 i_3 = 6$ V（上 +）。2 A 从 + 端流进、− 端流出：

p_{\text{吸收}} = 6 \times 2 = 12\ \text{W}\quad(\text{电流源在吸收功率})

验算

网孔 2 单独看：左边 6 Ω 上的压降 $6(i_2-i_1) = -18$ ，上边 4 Ω 是 $12$ ，电流源两端 $+6$ ： $-18 + 12 + 6 = 0$ 。✓

陷阱

电流源的电压是电路决定的，可正可负。这里它吸收 12 W，就像一个被充电的电池。