3·21

替代定理 (substitution theorem)

内容：如果你已经知道某条支路在某个工作状态下的电压 $v$ （或电流 $i$ ），就可以把这条支路换成一个电压为 $v$ 的理想电压源（或电流为 $i$ 的理想电流源），电路其余部分的解不变。

为什么成立（老师的论证）：先在这条支路旁边并一个电压正好等于 $v$ 的电压源。因为电压本来就是 $v$ ，加了它什么都没变，原来的解仍然满足所有 KCL/KVL。现在电压已经由这个源决定，把原来那条支路拿掉，剩下电路看到的端电压还是 $v$ 。电流源版本是对偶论证。

替代 ≠ 等效

替代只保证这一个工作点不变。别的源一变，需要的替代值也要跟着变。戴维南等效则对任何负载都成立。还要求替代后电路仍然有唯一解（理想源有时会产生矛盾或多余的约束）。

图 9-3（第 9 讲 ~30:00 的设计题；板书未核对，按讲义文字描述重画）：选 V_s 使中间 2 Ω 不过电流。

选 $V_s$ 使中间 2 Ω 的电流为 0。

解答

替代：电流为 0 的支路可以换成电流为 0 的电流源，也就是开路。把 2 Ω 拿掉之后，左右两边变成两个独立的分压器。

要让 2 Ω 放回去时仍然没有电流，它两端电压必须相等： $v_L = v_R$ 。

v_L = 20\times\frac{4}{4+4} = 10\,\text{V},\qquad v_R = V_s\times\frac{6}{3+6} = \tfrac23 V_s

\tfrac23 V_s = 10 \;\Rightarrow\; V_s = 15\,\text{V}

"电流为 0"这个要求被转换成了"两点电压相等"这个设计条件。

联系例 8-1：那里的目标支路电流也是 0，所以把它换成开路，其余电路的解不变。这正是练习 T2 里 $V_{th} = 0$ 的原因。

老师用替代定理拆分多级放大器：先算第 1 级，带上第 2 级的输入电阻作负载，得到两级之间的接口电压；然后把这个电压当作已知的源，去驱动第 2 级（再带上第 3 级的负载）。大题变成几个小题。

容易错的地方：用第 1 级"空载"时的增益去算，会得到错误的总增益。必须先把下一级的负载效应算进去，接口电压才是"已知"的。如果后级还会反过来影响前级（反向耦合），这种逐级拆分就不够了。