3·62

第 5 题 · 含受控源的戴维南 + 最大功率

第 5 题

求 a–b 左边的戴维南等效，再求最大功率

菱形是受控电流源 (CCCS)，电流 =

i_x

（增益 1），箭头朝上流进节点 1。

i_x

是流过左边 6 Ω 的电流。

(a) 求 a–b 端口的 $V_{th}$ 和 $R_{th}$ 。
(b) a–b 接负载 $R_L$ ， $R_L$ 取多少时功率最大？最大功率是多少？

提示（先自己试 3 分钟）

分别求开路电压 $V_{oc}$ 和短路电流 $I_{sc}$ ， $R_{th} = V_{oc}/I_{sc}$ 。受控源不能置零。

看解答

开路电压：2 Ω 上没电流， $V_{oc} = v_1$ 。节点 1 的 KCL：从左边流进 $i_x$ ，受控源流进 $i_x$ ，往下流出 $v_1/6$ ：

2i_x = \frac{v_1}{6},\quad i_x = \frac{18 - v_1}{6}\;\Rightarrow\; 36 - 2v_1 = v_1 \;\Rightarrow\; v_1 = 12\ \text{V} = V_{oc}

短路电流：a–b 短接，2 Ω 下端接地：

2i_x = \frac{v_1}{6} + \frac{v_1}{2},\quad i_x = \frac{18 - v_1}{6}\;\Rightarrow\; v_1 = 6\ \text{V},\quad I_{sc} = \frac{6}{2} = 3\ \text{A}

V_{th} = 12\ \text{V},\qquad R_{th} = \frac{12}{3} = 4\ \Omega

用测试源再验一次

18 V 置零，在 a 加 $v_t$ 。此时 $i_x = -v_1/6$ ，节点 1： $-\frac{v_1}{3} - \frac{v_1}{6} + \frac{v_t - v_1}{2} = 0 \Rightarrow v_t = 2v_1$ 。流进 a 的电流 $\frac{v_t - v_1}{2} = \frac{v_t}{4}$ ，所以 $R_{th} = 4\ \Omega$ 。✓

(b) 最大功率传输 (maximum power transfer)：

R_L = R_{th} = 4\ \Omega,\qquad P_{max} = \frac{V_{th}^2}{4R_{th}} = \frac{144}{16} = 9\ \text{W}

陷阱

如果把受控源也"关掉"直接串并联，会得到 $2 + 6\parallel 6 = 5\ \Omega$ ，这是错的。受控源的电流跟着 $i_x$ 变，它是电路的一部分，不是独立源。