YC.
3·20

源搬移 (source transportation)

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一句话：源搬移 (source transportation) 不改变源的种类和大小，只改变它接在哪两个节点之间。搬法是把一个源复制成几份放到别处，条件是电路其余部分"感觉不到"任何变化：每个节点的电位、每条支路的电流都和原来一样。

源变换 (transformation)源搬移 (transportation)
改什么电压源串 RR ⇄ 电流源并 RR，源的种类变了源的种类、数值都不变，只是换位置、复制成几份
需要什么必须有配对的串联电阻（或并联电阻）不需要电阻
为什么用把两种等效形式互换，方便串并联合并给源制造出可以做源变换的配对

第三行就是搬移存在的理由。下面例 9-1 的 36 V 源直接接在节点 C 和地之间，没有串联电阻，源变换用不了；例 9-2 的 18 A 源跨在两个都不接地的节点之间，和它并联的恰好是题目要求电流的 6 Ω，也不能拿去变换。搬一下，这两个障碍都没了。

7.1 电压源搬移：把源"推过"一个节点

先看原图。电压源 VV 的 − 端接地（叫它节点 3），+ 端接在节点 X 上。X 不是一个"点"，而是一小段导线，两条支路 R1R_1、R2R_2 从它的两头接出去。把这段导线的两头叫做 1 和 2：

R1 R2 R3 R4 A B 3（地） + − V 1 2 节点 X：电位 V
原图。VV 把整段导线 1–2 的电位钉在 VV（相对地）。AA、BB 后面接什么都行，这里用 R3R_3、R4R_4 代表电路其余部分。

这个图里，源和导线一共给了三条约束（这就是课上写的那组式子）：

v12=0,v13=V,v23=Vv_{12}=0,\qquad v_{13}=V,\qquad v_{23}=V

v12=0v_{12}=0 是导线给的，后两条是源给的。R1R_1 只关心它左端（A）和右端（1）的电位，R2R_2 同理。只要 1 和 2 的电位都还是 VV，R1R_1、R2R_2 以及后面的一切就都不会变。

搬移分两步，每一步都不改变任何节点电位：

  1. 再并一个一模一样的源。在节点 2 和地之间加第二个 VV，+ 端朝上。两个相同的理想电压源并联，它俩两端电压本来就一样，加上去什么都没变。
  2. 剪断 1–2 之间的导线。这根导线唯一的作用是保证 v12=0v_{12}=0。可现在 1 被左边的源钉在 VV，2 被右边的源钉在 VV，v12=V−V=0v_{12}=V-V=0 已经自动成立。原来那组电压电流在剪断后仍然满足所有 KCL、KVL（两个源各自提供自己那条支路需要的电流），所以它还是这个电路的解。
R1 R2 R3 R4 A B 3（地） ✂ 剪断 + − V + − V 1 2
中间一步：并上第二个源，虚线就是要剪掉的那段导线。
R1 R2 R3 R4 A B 3（地） + − V + − V 1 2 1、2 电位仍是 V
搬移后。橙色是两份复制品。三条约束 v12=0, v13=V, v23=Vv_{12}=0,\ v_{13}=V,\ v_{23}=V 一条没少，所以外部看不出区别。
换个角度看

从地出发走到 R1R_1 的右端：原图里是"经过源升 VV"，搬移后还是"经过一份源升 VV"。任何一条从地出发的路径，走到 R1R_1 或 R2R_2 门口时电位都是 VV。KVL 只看这些电位差，所以每个回路的 KVL 都不变。

搬移后，"地 → 一份 VV → R1R_1 → A"就是一个"电压源串电阻"，可以做源变换了。这正是例 9-1 的第 1 步。

电压源搬移的规则
  1. 选源的一端（通常是不接地的那一端，比如上图的 X）作为要"推过"的节点。
  2. 这个节点上除了源本身，每一条支路都要串进一份相同的源。有几条支路就复制几份。
  3. 极性：从源的另一端出发，经过复制品走进支路，要和原来一样是"升 VV"。也就是 + 端朝向支路。
  4. 原来那个节点可以拿掉（或者直接和源的另一端连成一点，效果一样，例 9-1 里 C 就和地并成了一点）。
最常见的错：漏掉一条支路

拿例 9-1 来说，如果只把 36 V 复制进 4 Ω 那条支路，忘了 3 Ω：3 Ω 的上端就从 36 V 变成了 0 V，右边只剩 3∥6=2 Ω3\parallel6=2\,\Omega 接地、没有源。算出来

i=18−02+2+2=3 Ai=\frac{18-0}{2+2+2}=3\,\text{A}

而正确答案是 −1 A-1\,\text{A}。连方向都反了。所以一定要数清节点上有几条支路。

搬移后丢掉的信息：原电压源上的电流。它等于各份复制品电流之和，也就是 R1R_1、R2R_2 两条支路电流之和。如果题目问的是这个电流，要回到原图用 KCL 求。

7.2 电流源搬移：让源"绕路"经过另一个节点

原图里电流源 II 从节点 1 流到节点 2，两端都不接地（这叫"浮空"）。节点 1、2 之间还有 R3R_3，两个节点各有一个电阻到地：

R1 R2 R3 1 2 3（地） I
原图。II 从 1 流到 2，和 R3R_3 并联。
R1 R2 R3 1 2 3（地） I I
搬移后。橙色是两份复制品：1→3（向下流进地）一份，3→2（从地向上流进 2）一份。

为什么等效？电阻只关心节点电位。节点电位由节点方程决定，而电流源在节点方程里只出现在右边：每个节点"被源净注入多少电流"。逐个节点核对：

节点搬移前：电流源净注入搬移后：电流源净注入
1II 从 1 流出 → −I-III 从 1 流到地 → −I-I
2II 流进 2 → +I+III 从地流进 2 → +I+I
3（地）没有源接在这里 → 00流进 II、流出 II → 00

三个节点的净注入完全一样（课上写成 (I,−I,0)(I,-I,0)），节点方程一个字都没变，解出来的电位当然也一样，所以 R1R_1、R2R_2、R3R_3 的电流全都不变。

换个角度看

电流源像一根"强制输送 II"的管道。原来是从 1 直接送到 2；现在改成先从 1 送到 3，再从 3 送到 2。中转站 3 进多少出多少，自己什么都没留下，1 和 2 也感觉不到路线变了。

搬移后，"1→地的 II"和 R1R_1 并联，"地→2 的 II"和 R2R_2 并联，都成了"电流源并电阻"，可以做源变换；如果节点上原来就有别的接地电流源，还能直接相加合并。这正是例 9-2 的第 1 步。

电流源搬移的规则
  1. 任选一个中间节点 3（最常用地，因为搬完后源都接地，好合并）。
  2. 把 1→2 的 II 换成 1→3 一份 II、3→2 一份 II，箭头首尾相接：第一份的箭头指向 3，第二份的箭头从 3 出来。
  3. 中间节点可以不止一个：1→3→4→2，每段一份 II，只要首尾相接，中间每个节点都是进一份出一份。
  4. 原来那个电流源直接拿掉（开路）。
最常见的错：箭头没首尾相接

如果第二份画反了（从 2 流到 3），节点 2 的净注入从 +I+I 变成 −I-I，地的净注入变成 +2I+2I。节点方程右边变了，答案就错了。检查方法就是上面那张表：搬完后逐个节点数一遍净注入。

搬移后丢掉的信息：原电流源两端的电压。它等于 v1−v2v_1-v_2，求出节点电位后直接相减即可（复制品两端的电压和它无关）。

两种搬移对照

电压源搬移电流源搬移
怎么拆推过一个节点：复制进这个节点的每一条其他支路沿一条路径拆：1→3、3→2，箭头首尾相接
原位置变成导线（或者节点直接并到另一端）开路（源拿掉）
保持不变的每条支路门口的电位，即每个回路的 KVL每个节点的电流源净注入，即每个节点的 KCL
典型目的没有串联电阻的电压源 → 让每份都串上电阻 → 源变换浮空电流源 → 让每份都接地、并上电阻 → 合并或源变换
常见错误漏掉一条支路；极性反了箭头没有首尾相接
丢掉的量原源的电流（= 各份电流之和）原源两端电压（= v1−v2v_1-v_2）
判断标准

搬对没有，不看图长得像不像，只看两件事：电压源搬移后，每条支路门口的电位是否不变；电流源搬移后，每个节点的净注入是否不变。

课堂梗：受控源也可以搬，只要每份复制品的控制量和关系式都和原来完全一样。如果搬的时候改了控制量（比如控制电压换成了另一条支路的电压），那就是另一个器件了，需要另外证明。

例 9-1 板书·已核对 电压源搬移（第 9 讲 06:00）

4 Ω 4 Ω + − 36 V 3 Ω 6 Ω 2 Ω i L C R
图 9-1（第 9 讲板书 06:45，已核对原帧）：求 2 Ω 上从左到右的电流 i。

求 2 Ω 上从左到右的电流 ii。

解答

第 1 步 · 搬移：36 V 源的 + 端在 C，C 连着两条支路（4 Ω 到 L、3 Ω 到 R）。把源推过 C，复制到这两条支路里：

4 Ω 4 Ω + − 36 V + − 36 V 3 Ω 6 Ω 2 Ω i L R
图 9-1b：把 36 V 源"推过"节点 C，复制进两条支路（搬移 transportation）。C 和地之间不再有电压差，可并成同一点。

第 2 步 · 两边各做戴维南（下面是从 L 或 R 对地看）：

  • 左边：36 V 经 4 Ω 到 L，L 经 4 Ω 到地。分压 Vth,L=36×44+4=18 VV_{th,L} = 36\times\tfrac{4}{4+4} = 18\,\text{V}，Rth,L=4∥4=2 ΩR_{th,L} = 4\parallel4 = 2\,\Omega。
  • 右边：36 V 经 3 Ω 到 R，R 经 6 Ω 到地。Vth,R=36×63+6=24 VV_{th,R} = 36\times\tfrac{6}{3+6} = 24\,\text{V}，Rth,R=3∥6=2 ΩR_{th,R} = 3\parallel6 = 2\,\Omega。
+ − 18 V 2 Ω 2 Ω 2 Ω + − 24 V i L R
图 9-1c：左右两边各自做戴维南等效后，只剩一个单回路。

第 3 步 · 单回路：总电阻 2 + 2 + 2 = 6 Ω，压差 24 − 18 = 6 V，电流 1 A，实际从右（24 V 那边）流向左。按题目从左到右的参考方向：

i=18−246=−1 Ai = \frac{18 - 24}{6} = -1\,\text{A}

检验（原电路节点法）：解得 vL=20 V, vR=22 Vv_L = 20\,\text{V},\ v_R = 22\,\text{V}，i=(20−22)/2=−1 Ai = (20-22)/2 = -1\,\text{A} ✓。

例 9-2 板书·已核对 电流源搬移（第 9 讲 08:15）

20 A 3 Ω 6 Ω i 18 A 2 Ω 4 A L R
图 9-2（第 9 讲板书 08:15，已核对原帧）：求 6 Ω 上从左到右的电流 i。

求 6 Ω 上从左到右的电流 ii。（就是练习 S2 那道题。）

解答

第 1 步 · 搬移：18 A 从 L 直接流到 R，它和 6 Ω 并联，不能直接源变换（会吃掉要求的 6 Ω）。把它拆成"L → 地"和"地 → R"两份。

2 A 3 Ω 6 Ω i 2 Ω 14 A 20 − 18 = 2 A 18 − 4 = 14 A
图 9-2b：18 A 源"经过地"搬移：左节点→地 一份、地→右节点 一份，再和原来的源合并。

合并同一节点上的源：L 节点净注入 20 − 18 = 2 A；R 节点净注入 18 − 4 = 14 A。

第 2 步 · 源变换：2 A 并 3 Ω → 6 V 串 3 Ω；14 A 并 2 Ω → 28 V 串 2 Ω。

+ − 6 V 3 Ω 6 Ω 2 Ω + − 28 V i
图 9-2c：两边各做一次源变换 (source transformation)。

第 3 步 · 单回路：

i=6−283+6+2=−2211=−2 Ai = \frac{6 - 28}{3 + 6 + 2} = \frac{-22}{11} = -2\,\text{A}

检验（原电路节点法）：vL=12 V, vR=24 Vv_L = 12\,\text{V},\ v_R = 24\,\text{V}，i=(12−24)/6=−2 Ai = (12-24)/6 = -2\,\text{A} ✓。和练习 S2 的叠加结果一致。