3·51

受控源与测试源

规则

受控源不能"关掉"。求 $R_{th}$ 时只关独立源，在端口加测试电压 $v_t$ （或测试电流 $i_t$ ），解出另一个量， $R_{th} = v_t / i_t$ 。也可以用 $v_{oc}/i_{sc}$ 。

练习 7

求端口 (+, −) 的戴维南等效。先猜一下： $R_{th}$ 会是 4 Ω ∥ 6 Ω = 2.4 Ω 吗？

提示

端口电压 = $v_a + 2i_x$ 。开路时受控源上没有电流， $i_x$ 就是 4 Ω、6 Ω 串联回路的电流。

看解答

开路电压。 $i_x = 12/(4+6) = 1.2$ A， $v_a = 6 \times 1.2 = 7.2$ V，

v_{oc} = v_a + 2i_x = 7.2 + 2.4 = 9.6\ \text{V}

测试源。12 V 短路，端口加 $v_t$ ，流进 + 端的电流为 $i_t$ 。现在 $i_x = (0 - v_a)/4 = -v_a/4$ ：

v_t = v_a + 2i_x = v_a - \tfrac{v_a}{2} = \tfrac{v_a}{2},\qquad i_t = \frac{v_a}{6} - i_x = \frac{v_a}{6} + \frac{v_a}{4} = \frac{5v_a}{12}

R_{th} = \frac{v_t}{i_t} = \frac{v_a/2}{5v_a/12} = 1.2\ \Omega

另一条路核对

短路： $v_a = -2i_x$ ， $i_x = (12 - v_a)/4$ → $i_x = 6$ A， $v_a = -12$ V， $i_{sc} = i_x - v_a/6 = 6 + 2 = 8$ A。 $9.6 / 8 = 1.2$ Ω。✓

不是 2.4 Ω：受控源跟着 $i_x$ 变，改变了端口的 i–v 斜率。

练习 8

(a) 求 a–b 看进去的电阻。
(b) 把受控源箭头反过来（3i 从 m 流出），再求一次。

提示

没有独立源， $v_{oc} = 0$ ，只需要 $R_{th}$ 。在 a 加 $v_t$ ，电流 $i$ 就是 $i_t$ 。

看解答

(a) m 点 KCL：流进的是 $i$ 和 $3i$ ，流出的是 $v_m/4$ ：

4i = \frac{v_m}{4} \Rightarrow v_m = 16i,\qquad v_t = 4i + v_m = 20i \Rightarrow R_{th} = 20\ \Omega

(b) 箭头反过来： $i - 3i = v_m/4$ ， $v_m = -8i$ ， $v_t = 4i - 8i = -4i$ ，

R_{th} = -4\ \Omega

怎么理解

(a) 里受控源把流进来的电流放大 4 倍再送进下面的 4 Ω，端口看到的电阻就从 8 Ω 变成 $4 + 4\times4 = 20$ Ω。(b) 里受控源抽走的比送进来的多，m 点电压反向，端口看起来像在往外送功率，等效成负电阻。只有电阻和独立源的电路不会出现负的 $R_{th}$ 。