YC.
3·17

叠加定理 (superposition)

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直觉

一个房间里开着几个喇叭，你耳朵听到的声压 = 每个喇叭单独开时的声压加起来（前提是空气是"线性"的）。线性电路也一样：好几个独立源一起作用时，任何一个电压或电流 = 每个源单独作用时的结果之和。

从节点方程推出来

节点法给出 Yv=is\mathbf{Y}\mathbf{v} = \mathbf{i}_s。这里 Y\mathbf{Y} 只由电阻（和受控源）决定，is\mathbf{i}_s 只由独立源决定。拿两节点电路具体写：解出来一定长这样

v1=a I1+b I2,v2=c I1+d I2v_1 = a\,I_1 + b\,I_2,\qquad v_2 = c\,I_1 + d\,I_2

其中 I1,I2I_1, I_2 是注入两个节点的源电流，a,b,c,da, b, c, d 是只和电阻有关的固定数（它们就是逆矩阵 Y−1\mathbf{Y}^{-1} 的四个元素，单位 Ω）。看第一行：aI1a I_1 是"只开 I1I_1"时的 v1v_1，bI2b I_2 是"只开 I2I_2"时的 v1v_1，加起来就是两个都开时的 v1v_1。这就是叠加定理的全部内容。

老师在这里特别提醒：系数是 Y−1\mathbf{Y}^{-1} 的元素，不是 Y\mathbf{Y} 本身的元素。字幕里把这个写混了。

"关掉"一个源是什么意思 (source nulling)

独立电压源置零 → 短路

电压为 0 的源 = 两端电压差永远为 0 的元件 = 一根导线。

独立电流源置零 → 开路

电流为 0 的源 = 永远不让电流过的元件 = 断开。

受控源 (dependent source) 不能关

受控源不是"输入"，它是电路结构的一部分，它的系数在 Y\mathbf{Y} 矩阵里（回忆例 6-1b，gmg_m 进的是矩阵，不是右边）。把它删掉等于换了一个电路。

老师的例子：一个受控电流源 i=2vi = 2v，控制量就是它自己两端的电压，并且电流方向符合被动符号约定 (passive sign convention)。那它就是一个 1/2=0.5 Ω1/2 = 0.5\,\Omega 的电阻。你不会在叠加时把电阻删掉，所以也不能删受控源。箭头反过来，同样的 "2" 就变成负电阻，极性很重要。

例 8-1 板书·已核对 三个源，结果是 0（第 8 讲 13:00–28:00）

12 A 4 Ω 4 Ω 8 A 4 Ω i 8 Ω + − 64 V a b
图 8-1（第 8 讲板书 14:15，已核对原帧）：三个独立源。求流过右下 4 Ω（节点 b → 地）向下的电流 i。

12 A 电流源向上注入节点 a；8 A 电流源从 b 向下流到地；64 V 电压源正端经 8 Ω 接到 a。求右下 4 Ω 中向下的电流 ii。

解答

(a) 只留 12 A：8 A 开路，64 V 短路。

12 A 4 Ω 4 Ω 开路 4 Ω i 8 Ω 短路 a b
(a) 只留 12 A：8 A 源置零 = 开路，64 V 源置零 = 短路。

从 a 往地看有三条路：左边 4 Ω；中间 4 Ω + 4 Ω = 8 Ω（经过 b）；右边 8 Ω（64 V 已短路）。中间和右边两个 8 Ω 并联 = 4 Ω，和左边 4 Ω 一样大，所以 12 A 先对半分：6 A 走左边，6 A 走"两个 8 Ω"；这 6 A 再对半分，3 A 走经过 b 的那条。i(a)=12/2/2=+3 Ai^{(a)} = 12/2/2 = +3\,\text{A}（向下）。

(b) 只留 8 A：12 A 开路，64 V 短路。

开路 4 Ω 4 Ω 8 A 4 Ω i 8 Ω 短路 a b
(b) 只留 8 A。

8 A 源把电流从 b 抽到地，然后电流要从地"回到" b。两条回路：直接经目标 4 Ω（向上）；或者经 a：4+(4∥8)=4+8/3=20/3 Ω4 + (4\parallel 8) = 4 + 8/3 = 20/3\,\Omega。分流公式（流过某条支路的电流 = 总电流 × 另一条支路电阻 / 两条之和）：

∣i(b)∣=8×20/34+20/3=5 A|i^{(b)}| = 8\times\frac{20/3}{4 + 20/3} = 5\,\text{A}

方向是向上，和 ii 的参考方向相反，所以 i(b)=−5 Ai^{(b)} = -5\,\text{A}。

(c) 只留 64 V：两个电流源都开路。

开路 4 Ω 4 Ω 开路 4 Ω i 8 Ω + − 64 V a b
(c) 只留 64 V。

从 a 往地：4 Ω 并 (4+4) Ω = 8/3 Ω。分压：

va=64×8/38+8/3=16 Vv_a = 64\times\frac{8/3}{8 + 8/3} = 16\,\text{V}

经过 b 那条 8 Ω 路径的电流 16/8=2 A16/8 = 2\,\text{A}，向下。i(c)=+2 Ai^{(c)} = +2\,\text{A}。

相加：i=3−5+2=0 Ai = 3 - 5 + 2 = 0\,\text{A}。

独立检验（节点法，两个未知 va,vbv_a, v_b，把三个源值当符号）：可以解出 i=Ia4−5Ib8+Vs32i = \dfrac{I_a}{4} - \dfrac{5 I_b}{8} + \dfrac{V_s}{32}，其中 Ia=12, Ib=8, Vs=64I_a = 12,\ I_b = 8,\ V_s = 64。三项正好就是 3、−5、2。这个式子还说明了叠加定理：答案是各个源值的线性组合。

课堂梗 · 这道题的重点

"三个不为零的源，结果却是零，这正常吗？"正常。各自的贡献有正有负，可以抵消。

叠加可以用来设计。知道每个源对输出的"影响系数"之后，可以反过来选一个源的大小，让输出等于你想要的值（比如为 0）。这比把整个电路解一遍得到一个数字更有用。例如上面的式子告诉你：64 V 每增加 32 V，ii 增加 1 A。

功率不能叠加

功率 P=Ri2P = R i^2 是电流的平方，不是线性的。两个源各自产生 i1,i2i_1, i_2 时，R(i1+i2)2=Ri12+Ri22+2Ri1i2R(i_1+i_2)^2 = Ri_1^2 + Ri_2^2 + 2Ri_1i_2，多了交叉项。例 8-1 里目标电阻的三个单独功率是 4×9=364\times9 = 36、4×25=1004\times25 = 100、4×4=164\times4 = 16 W，加起来 152 W，实际功率是 0 W。先叠加电流/电压，最后再算功率。

本章补充练习 · 时间不够可以跳过

练习 S1 自编 有受控源时的叠加

+ − 12 V 4 Ω 3 A 0.25·vA A
练习 S1（自编）：菱形 = 受控电流源，电流 0.25·vA（单位 S×V = A），方向从 A 流到地。

用叠加定理求 vAv_A。然后看看如果错误地把受控源也"关掉"会得到什么。

解答

正确做法：受控源两次都保留。

  • 只留 12 V（3 A 开路）：KCL @ A：v−124+0.25v=0⇒0.5v=3⇒v(1)=6 V\dfrac{v-12}{4} + 0.25v = 0 \Rightarrow 0.5v = 3 \Rightarrow v^{(1)} = 6\,\text{V}。
  • 只留 3 A（12 V 短路）：v4+0.25v=3⇒v(2)=6 V\dfrac{v}{4} + 0.25v = 3 \Rightarrow v^{(2)} = 6\,\text{V}。
  • 合计 vA=12 Vv_A = 12\,\text{V}。检验整体：12−124+0.25×12=3\dfrac{12-12}{4} + 0.25\times12 = 3 ✓。

错误做法：把受控源也删掉。只留 12 V 时 A 悬空，v=12v = 12；只留 3 A 时 v=3×4=12v = 3\times4 = 12；加起来 24 V，错了一倍。

更直观：这个受控源电流 0.25vA0.25 v_A、从 A 流向地，控制量正好是它自己两端电压，所以它就是一个 1/0.25=4 Ω1/0.25 = 4\,\Omega 的电阻（老师说的"受控源可以就是一个电阻"）。

练习 S2 用第 9 讲电路 叠加 vs. 源搬移

20 A 3 Ω 6 Ω i 18 A 2 Ω 4 A L R
图 9-2（第 9 讲板书 08:15，已核对原帧）：求 6 Ω 上从左到右的电流 i。

用叠加定理求 6 Ω 上从左到右的电流 ii。（第 7 节会用源搬移再做一遍，对比哪个快。）

解答

设 L、R 两个节点电压。三次单独求解（其余电流源开路），每次两个 KCL 方程：

  • 只留 20 A：i(1)=60/11 Ai^{(1)} = 60/11\,\text{A}
  • 只留 18 A：i(2)=−90/11 Ai^{(2)} = -90/11\,\text{A}
  • 只留 4 A：i(3)=8/11 Ai^{(3)} = 8/11\,\text{A}

合计 i=(60−90+8)/11=−22/11=−2 Ai = (60 - 90 + 8)/11 = -22/11 = -2\,\text{A}。每一步都是分数，叠加在这道题上并不省事。所以老师在第 9 讲用的是源搬移 + 源变换，几步口算就出来了。