YC.
3·30

5.3 叠加 (superposition) · 第 8 讲

← PreviousNext →

直觉

几个喇叭同时响，耳朵听到的声压 = 每个喇叭单独响时的声压之和（空气是"线性"的）。线性电路一样：好几个独立源一起作用时，任何一个电压或电流 = 每个源单独作用时的结果之和。

从节点方程推出来（第 8 讲 02:00）

节点法给出 Yv=is\mathbf{Y}\mathbf{v} = \mathbf{i}_s。Y\mathbf{Y} 只由电阻和受控源决定，is\mathbf{i}_s 只由独立源决定。所以

v=Y−1is=Y−1(is(1)+is(2)+⋯)=Y−1is(1)+Y−1is(2)+⋯\mathbf{v} = \mathbf{Y}^{-1}\mathbf{i}_s = \mathbf{Y}^{-1}\big(\mathbf{i}_s^{(1)} + \mathbf{i}_s^{(2)} + \cdots\big) = \mathbf{Y}^{-1}\mathbf{i}_s^{(1)} + \mathbf{Y}^{-1}\mathbf{i}_s^{(2)} + \cdots

每一项就是"只留一个源"时的解。两节点的例子写开就是 v1=a I1+b I2v_1 = a\,I_1 + b\,I_2，a,ba, b 是 Y−1\mathbf{Y}^{-1} 第一行的两个元素（单位 Ω），只和电阻有关。老师特别提醒：系数是 Y−1\mathbf{Y}^{-1} 的元素，不是 Y\mathbf{Y} 的。

置零的东西变成为什么
独立电压源短路（导线）电压为 0 的元件 = 两端永远等电位 = 导线
独立电流源开路电流为 0 的元件 = 不让电流过 = 断开
受控源保留，不能关它在 Y\mathbf{Y} 里，是电路结构，不是输入
受控源为什么不能关（第 8 讲 08:00）

老师的例子：受控电流源 i=2vi = 2v，控制量是它自己两端的电压，方向符合被动符号约定，那它就是一个 0.5 Ω0.5\,\Omega 的电阻。叠加时你不会把电阻删掉，所以也不能删受控源。箭头反过来，同样的 "2" 就是负电阻：极性很重要。

例 8-1

板书·已核对 三个源，结果是 0（第 8 讲 13:00–28:00）

+ − 64 V 4 Ω 12 A 4 Ω 8 A 8 Ω 4 Ω a b i
图 8-1（第 8 讲板书 14:15，已核对原帧）。求 b 处 4 Ω 中向下的电流 ii。

方法：三个独立源、没有受控源 → 叠加，每次只留一个源。

4 Ω 12 A 4 Ω 8 Ω 4 Ω a b 短路 开路 i
(a) 只留 12 A。

从 a 往地三条路：4 Ω；4 Ω + 4 Ω = 8 Ω（经过 b）；8 Ω（64 V 已短路）。后两条 8 Ω 并联 = 4 Ω，和第一条一样大，12 A 先对半分；走"两个 8 Ω"的 6 A 再对半分。i(a)=12/2/2=+3i^{(a)} = 12/2/2 = +3 A。

4 Ω 4 Ω 8 A 8 Ω 4 Ω a b 短路 开路 i
(b) 只留 8 A。

8 A 从 b 抽到地，再从地回到 b。两条回路：直接经目标 4 Ω（向上）；或经 a：4+(4∥8)=20/3 Ω4 + (4 \parallel 8) = 20/3\,\Omega。分流：

∣i(b)∣=8×20/34+20/3=5 A,方向向上⇒i(b)=−5 A|i^{(b)}| = 8 \times \frac{20/3}{4 + 20/3} = 5\ \text{A},\quad \text{方向向上} \Rightarrow i^{(b)} = -5\ \text{A}
+ − 64 V 4 Ω 4 Ω 8 Ω 4 Ω a b 开路 开路 i
(c) 只留 64 V。

从 a 往地：4 Ω ∥ (4+4) Ω = 8/3 Ω。分压 va=64×8/38+8/3=16v_a = 64 \times \frac{8/3}{8 + 8/3} = 16 V，经 b 那条 8 Ω 的电流 16/8=216/8 = 2 A 向下：i(c)=+2i^{(c)} = +2 A。

i=3−5+2=0 Ai = 3 - 5 + 2 = 0\ \text{A}
检验

把三个源值当符号用节点法解出 i=Ia4−5Ib8+Vs32i = \dfrac{I_a}{4} - \dfrac{5I_b}{8} + \dfrac{V_s}{32}，代入 12、8、64 正好是 3、−5、2。这个式子本身就是叠加定理：答案是源值的线性组合。

课堂梗 · 这道题的重点

"三个非零的源，结果是零，正常吗？"正常，各自的贡献有正有负，可以抵消。

叠加可以用来设计。知道每个源的影响系数后，可以反过来选一个源的大小让输出等于想要的值。上面的式子说：64 V 每增加 32 V，ii 增加 1 A。

功率不能叠加

R(i1+i2)2=Ri12+Ri22+2Ri1i2R(i_1+i_2)^2 = Ri_1^2 + Ri_2^2 + 2Ri_1i_2，多了交叉项。例 8-1 目标电阻的三个"单独功率"是 36、100、16 W，加起来 152 W，实际功率是 0 W。

补充练习

练习 S1 · 自编 · 有受控源时的叠加
+ − 12 V 0.25 vA 3 A 4 Ω A
练习 S1：受控电流源 0.25 vA0.25\,v_A（单位 S × V = A）从 A 流到地。

用叠加求 vAv_A。再看看如果错误地把受控源也"关掉"会得到什么。

提示

两次单独求解里受控源都在。KCL @ A 只有一个未知量。

只留 12 V（3 A 开路）：v−124+0.25v=0⇒v(1)=6\dfrac{v-12}{4} + 0.25v = 0 \Rightarrow v^{(1)} = 6 V。

只留 3 A（12 V 短路）：v4+0.25v=3⇒v(2)=6\dfrac{v}{4} + 0.25v = 3 \Rightarrow v^{(2)} = 6 V。

合计 vA=12v_A = 12 V。检验：12−124+0.25×12=3\frac{12-12}{4} + 0.25 \times 12 = 3 ✓。

错误做法

把受控源删掉：只留 12 V 时 A 悬空，v=12v = 12；只留 3 A 时 v=12v = 12；加起来 24 V，错了一倍。这个受控源控制量就是自己两端电压，它其实是一个 1/0.25=4 Ω1/0.25 = 4\,\Omega 的电阻。

练习 S2 · 用第 9 讲电路 · 叠加 vs. 源搬移
20 A 3 Ω 2 Ω 4 A 6 Ω 18 A L R i
图 9-2（第 9 讲板书 08:15，已核对原帧）：求 6 Ω 上从左到右的电流 ii。

用叠加求 ii。第 09 节会用源搬移再做一遍，比较哪个快。

每次留一个电流源（其余开路），两个 KCL 方程：只留 20 A：i(1)=60/11i^{(1)} = 60/11 A；只留 18 A：i(2)=−90/11i^{(2)} = -90/11 A；只留 4 A：i(3)=8/11i^{(3)} = 8/11 A。

i=60−90+811=−2 Ai = \frac{60 - 90 + 8}{11} = -2\ \text{A}

每一步都是分数，叠加在这道题上不省事。老师在第 9 讲用源搬移 + 源变换，几步口算就出来（例 9-2）。