YC.
3·22

最大功率传输 (maximum power transfer)

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+ − Vs Rs RL I
图 9-4（第 9 讲 35:00）：源 Vs、内阻 Rs 固定，只能调负载 RL。

源 VsV_s 和内阻 Rs>0R_s > 0 固定，只能调负载 RL≥0R_L \ge 0。负载电流和功率：

I=VsRs+RL,PL=I2RL=Vs2 RL(Rs+RL)2I = \frac{V_s}{R_s + R_L},\qquad P_L = I^2 R_L = \frac{V_s^2\,R_L}{(R_s+R_L)^2}

对 RLR_L 求导（商的求导法则）：

dPLdRL=Vs2 (Rs+RL)2−2RL(Rs+RL)(Rs+RL)4=Vs2 Rs−RL(Rs+RL)3\frac{dP_L}{dR_L} = V_s^2\,\frac{(R_s+R_L)^2 - 2R_L(R_s+R_L)}{(R_s+R_L)^4} = V_s^2\,\frac{R_s - R_L}{(R_s+R_L)^3}

RL<RsR_L < R_s 时导数为正（功率在涨），RL>RsR_L > R_s 时为负（在降）。所以最大值在

RL=Rs,PL,max⁡=Vs24RsR_L = R_s,\qquad P_{L,\max} = \frac{V_s^2}{4R_s}
直觉（老师的说法）

负载很小：电流很大，但负载上几乎没电压，功率 ≈ 0。负载很大：电压接近 VsV_s，但几乎没电流，功率 ≈ 0。功率 = 电压 × 电流，两头都是 0，中间一定有最大值。匹配时负载电压正好是 Vs/2V_s/2。

最大功率 ≠ 最高效率

匹配时内阻 RsR_s 和负载消耗一样多的功率，效率只有 50%。电网不会这样设计（希望效率高，RL≫RsR_L \gg R_s）；通信接收端、天线常这样设计（信号微弱，要尽量多拿功率）。老师提到之后学阻抗时会推广为"共轭匹配 (complex conjugate matching)"。

本章补充练习 · 时间不够可以跳过

练习 P1 用第 9 讲电路 · 问题自编

4 Ω 4 Ω + − 36 V 3 Ω 6 Ω RL i L C R
练习 P1（用第 9 讲电路，问题自编）：把中间 2 Ω 换成可调负载 RL。

把例 9-1 中间的 2 Ω 换成可调电阻 RLR_L。RLR_L 取多少时它得到的功率最大？最大功率是多少？原来的 2 Ω 拿到了多少？

解答
  1. 从 RLR_L 两端（L、R）往里看求戴维南。用例 9-1 的结果：左边是 18 V 串 2 Ω，右边是 24 V 串 2 Ω。
  2. 开路电压 vL−vR=18−24=−6 Vv_L - v_R = 18 - 24 = -6\,\text{V}（只差一个符号，功率只看大小）；Rth=2+2=4 ΩR_{th} = 2 + 2 = 4\,\Omega。
  3. RL=Rth=4 ΩR_L = R_{th} = 4\,\Omega 时最大：Pmax⁡=624×4=2.25 WP_{\max} = \dfrac{6^2}{4\times4} = 2.25\,\text{W}。
  4. 原来的 2 Ω：电流 1 A，功率 12×2=2 W1^2\times2 = 2\,\text{W}，略小于最大值。
00.511.522.5048121620RL (Ω)PL (W)RL = 4 Ω, P = 2.25 W
图 9-5：练习 P1 中负载功率 PL = 36·RL/(RL+4)² 随 RL 变化（单一曲线；鼠标移上去可读数）。太小：电流大、电压几乎为 0；太大：电压大、电流几乎为 0。