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节点法遇到电压源 (nodal analysis with voltage sources)

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先复习：没有电压源时，节点法为什么好用

节点法的未知量是节点电压。每个电阻的电流都能用两端节点电压写出来：电流 = 电导 × 电压差，即 i=G (va−vb)i = G\,(v_a - v_b)，其中电导 G=1/RG = 1/R，单位西门子 (S)。所以每个节点的 KCL（流出该节点的电流加起来 = 0）都能只用节点电压写出来，未知数个数 = 方程个数。

例 6-1 板书·已核对 三节点数值例（热身，第 6 讲 04:00–24:45）

I₁=11A R₂=2Ω R₄=3Ω R₁=4Ω R₃=2Ω I₄=4A R₅=2Ω I₃=3A I₂=4A 1 2 3
图 6-1（第 6 讲 04:00–24:45 的数值例，拓扑来自第 5 讲）：只有电阻和独立电流源，所以可以直接"观察法"填矩阵。

求节点电压 v1,v2,v3v_1, v_2, v_3（相对地）。

解答

观察法填矩阵。对角线 = 接在这个节点上的所有电导之和；非对角线 = 负的、直接连接两个节点的电导；右边 = 电流源流入该节点的电流之和。

  • 节点 1：电导 1/4+1/2=3/41/4 + 1/2 = 3/4；注入 I1−I2=11−4=7I_1 - I_2 = 11-4 = 7 A（I2I_2 从节点 1 流出）。
  • 节点 2：1/2+1/2+1/3=4/31/2 + 1/2 + 1/3 = 4/3；注入 −I4=−4-I_4 = -4 A。
  • 节点 3：1/3+1/2=5/61/3 + 1/2 = 5/6；注入 I2+I3=7I_2 + I_3 = 7 A。
[3/4−1/20−1/24/3−1/30−1/35/6][v1v2v3]=[7−47]\begin{bmatrix}3/4&-1/2&0\\-1/2&4/3&-1/3\\0&-1/3&5/6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7\\-4\\7\end{bmatrix}

老师把三行分别乘 4、6、6 去掉分数，得到 [3−20−38−20−25]\begin{bmatrix}3&-2&0\\-3&8&-2\\0&-2&5\end{bmatrix}，右边变成 (28, −24, 42)(28,\,-24,\,42)。注意第二行右边是 −4×6=−24-4\times 6=-24；字幕里漏成了 −4，板书上是对的。

行列式 (determinant) =3(8⋅5−4)−(−2)(−15)=108−30=78=3(8\cdot5-4)-(-2)(-15)=108-30=78，解得 v1=12 V, v2=4 V, v3=10 Vv_1=12\,\text{V},\ v_2=4\,\text{V},\ v_3=10\,\text{V}。

检验（代回原方程）：第 1 行 34⋅12−12⋅4=9−2=7\tfrac34\cdot12-\tfrac12\cdot4=9-2=7 ✓；第 2 行 −6+163−103=−4-6+\tfrac{16}{3}-\tfrac{10}{3}=-4 ✓；第 3 行 −43+506=7-\tfrac43+\tfrac{50}{6}=7 ✓。

课堂梗：乘完之后矩阵不对称了。这不说明电路里有受控源，只是因为三行乘了不同的数。原始的电导矩阵是对称的。

例 6-1b 板书·已核对（符号） 加一个受控电流源

I₁=11A R₂=2Ω R₄=3Ω R₁=4Ω R₃=2Ω I₄=4A R₅=2Ω I₃=3A I₂=4A gm·v₁ 1 2 3
图 6-1b：在节点 3 加一个受控电流源 gm·v₁（菱形），方向从节点 3 流向地。

在节点 3 加一个受控电流源 gmv1g_m v_1，方向从节点 3 流向地。老师只讲了它进矩阵哪个位置；我补一个数值：取 gm=0.5 Sg_m = 0.5\,\text{S}，求新的节点电压。

解答

它进哪一行？电流从节点 3 流出，所以写在节点 3 的 KCL（第 3 行）里。它进哪一列？它的大小由 v1v_1 决定，所以系数放在 v1v_1 那一列。结果是矩阵元素 Y31Y_{31}（第 3 行第 1 列）从 0 变成 +gm+g_m：

gmv1−13v2+56v3=7g_m v_1 - \tfrac13 v_2 + \tfrac56 v_3 = 7

为什么是 "+"：我们写的是"流出节点的电流之和 = 流入的源电流"，这个受控源电流是流出的，放在左边就是正号。

代入 gm=0.5g_m = 0.5，解得 v1=10.4 V, v2=1.6 V, v3=2.8 Vv_1 = 10.4\,\text{V},\ v_2 = 1.6\,\text{V},\ v_3 = 2.8\,\text{V}。检验第 3 行：0.5(10.4)−1.6/3+(5/6)(2.8)=5.2−0.533+2.333=70.5(10.4) - 1.6/3 + (5/6)(2.8) = 5.2 - 0.533 + 2.333 = 7 ✓。

课堂梗：老师强调 gm=2 Sg_m = 2\,\text{S} 不是"2"——单位是西门子，乘伏特才得到安培。还有：加了受控源之后电路已经变了，不能沿用原来的 (12, 4, 10)。受控源让矩阵不再对称。

为什么电压源会让节点法"卡住"

电阻有一个"电压 → 电流"的公式。理想电压源 (ideal voltage source) 没有：它只规定两端电压差，流过它的电流可以是任何值，由外面的电路决定。打个比方：电阻像一根水管，压差越大水流越大；电压源像一台水泵，它保证进出口压差固定，至于抽多少水，要看外面接了什么管子。

所以在电压源一端写 KCL 时，会冒出一个新的未知量：电压源的电流，下面记作 ixi_x。处理办法分两种情况：

情况 A · 电压源一端接地

正端在节点 1、负端接地、值为 VAV_A，那么直接 v1=VAv_1 = V_A。这个节点电压已知，不用为它写 KCL。需要时最后再回头算它的电流。

情况 B · 电压源"浮动"在两个节点之间

正端在节点 2、负端在节点 3：得到约束方程 v2−v3=VBv_2 - v_3 = V_B。再把节点 2、3 的 KCL 相加，写成一个"超节点"方程。

超节点 (supernode) 从 KCL 推出来

这不是需要死记的特殊规则，是两条普通 KCL 相加的结果。老师在第 6 讲板书上（下图的电路）就是这么推的：

+ − VA=10 V R₄=4 Ω R₁=2 Ω + − VB=5 V R₂=8 Ω R₃=6 Ω v₁ v₂ v₃ ix 超节点 supernode
图 6-2（第 6 讲板书 51:45，已核对原帧）：10 V 源接地，5 V 源"浮动"在节点 2 与 3 之间。紫色虚线框是超节点。橙色 ix 是电压源内部电流，未知。

设 ixi_x 是电压源里从节点 2 流到节点 3 的电流。写"流出节点 = 0"：

KCL @ 2:G1(v2−v1)+G2v2+ix=0\text{KCL @ 2:}\quad G_1(v_2-v_1) + G_2 v_2 + i_x = 0 KCL @ 3:G3v3+G4(v3−v1)−ix=0\text{KCL @ 3:}\quad G_3 v_3 + G_4(v_3-v_1) - i_x = 0

ixi_x 从节点 2 流出（+），流进节点 3（−）。两式相加，ixi_x 正好消掉：

G1(v2−v1)+G2v2+G3v3+G4(v3−v1)=0G_1(v_2-v_1) + G_2 v_2 + G_3 v_3 + G_4(v_3-v_1) = 0

这就是超节点方程：把节点 2、3 和中间的电压源圈成一个大"节点"（紫色虚线框），只数穿过框边界的电流。框里面的 ixi_x 从一边出去又从另一边进来，对外净流量为 0。这是电荷守恒，KCL 对任何封闭边界都成立，不只是对单个节点。

例 6-2 板书·已核对 超节点例（第 6 讲 49:00–51:45）

VA=10 VV_A = 10\,\text{V}（正端在节点 1），VB=5 VV_B = 5\,\text{V}（正端在节点 2），R1=2 ΩR_1=2\,\Omega（1–2），R2=8 ΩR_2 = 8\,\Omega（2–地），R3=6 ΩR_3=6\,\Omega（3–地），R4=4 ΩR_4=4\,\Omega（1–3）。求三个节点电压，以及两个电压源各自提供的功率。老师写到矩阵形式就把数值留给学生了，下面是补全的解。

解答

三个方程（老师板书的写法）：

{v1=VA=10(grounded source)v2−v3=VB=5(floating-source constraint)G1(v2−v1)+G2v2+G3v3+G4(v3−v1)=0(KCL @ supernode)\begin{cases} v_1 = V_A = 10 & \text{(grounded source)}\\ v_2 - v_3 = V_B = 5 & \text{(floating-source constraint)}\\ G_1(v_2-v_1)+G_2v_2+G_3v_3+G_4(v_3-v_1)=0 & \text{(KCL @ supernode)}\end{cases}

写成矩阵：

[10001−1−(G1+G4)G1+G2G3+G4][v1v2v3]=[VAVB0]\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-1\\-(G_1+G_4)&G_1+G_2&G_3+G_4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}V_A\\V_B\\0\end{bmatrix}

课堂梗：这个矩阵前两行没有单位"S"，第三行有。老师说这没问题，每一行自己单位一致就行，只是不再是纯粹的"电导矩阵"。

代数：G1=1/2, G2=1/8, G3=1/6, G4=1/4G_1 = 1/2,\ G_2 = 1/8,\ G_3 = 1/6,\ G_4 = 1/4（单位 S）。把 v1=10v_1=10、v2=v3+5v_2 = v_3 + 5 代入第三式：

12(v3+5−10)+18(v3+5)+16v3+14(v3−10)=0\tfrac12(v_3+5-10) + \tfrac18(v_3+5) + \tfrac16 v_3 + \tfrac14(v_3-10) = 0 (12+18+16+14)v3=52−58+52  ⇒  2524v3=358  ⇒  v3=215=4.2 V\Big(\tfrac12+\tfrac18+\tfrac16+\tfrac14\Big)v_3 = \tfrac52 - \tfrac58 + \tfrac52 \;\Rightarrow\; \tfrac{25}{24}v_3 = \tfrac{35}{8}\;\Rightarrow\; v_3 = \tfrac{21}{5}=4.2\,\text{V}

所以 v1=10 V, v2=9.2 V, v3=4.2 Vv_1 = 10\,\text{V},\ v_2 = 9.2\,\text{V},\ v_3 = 4.2\,\text{V}。

电压源电流（回到被跳过的单节点 KCL）：KCL @ 2 给 ix=G1(v1−v2)−G2v2=0.4−1.15=−0.75 Ai_x = G_1(v_1-v_2) - G_2v_2 = 0.4 - 1.15 = -0.75\,\text{A}。负号说明实际 0.75 A 从节点 3 经电压源流到节点 2，即从 − 端进、+ 端出：这个 5 V 源在提供 5×0.75=3.75 W5\times0.75 = 3.75\,\text{W}。

VAV_A 输出电流 = 流进 R1R_1 和 R4R_4 的电流 = 0.4+1.45=1.85 A0.4 + 1.45 = 1.85\,\text{A}，提供 18.5 W18.5\,\text{W}。

检验（功率守恒）：四个电阻吸收 0.32+10.58+2.94+8.41=22.25 W0.32 + 10.58 + 2.94 + 8.41 = 22.25\,\text{W}；两个源提供 18.5+3.75=22.25 W18.5 + 3.75 = 22.25\,\text{W} ✓。

常见错误

① 以为超节点把节点 2、3 "短路"成同一个电压。不对，它们始终差 VBV_B。超节点只是一个"记账边界"，不是等电位。

② 写了超节点 KCL 却忘了约束方程 v2−v3=VBv_2 - v_3 = V_B。少一个方程就解不出来。

③ 用 "VB/RV_B / R" 去算电压源的电流。电压源没有自己的电阻，它的电流只能从 KCL 回头算。

④ 以为两个接地符号是两个节点。老师在第 6 讲开头说：画了几个地符号都是同一个参考节点，节点数看连接关系，不看画的位置。

本章补充练习 · 时间不够可以跳过

练习 N1 自编

+ − 12 V 2 Ω 6 Ω + − 6 V 3 Ω 2 A v₁ v₂ v₃ 超节点
练习 N1（自编）：一个接地电压源 + 一个浮动电压源 + 一个电流源。

求 v2,v3v_2, v_3，以及 6 V 电压源的电流和功率。

解答
  1. 接地电压源：v1=12 Vv_1 = 12\,\text{V}。
  2. 浮动电压源约束：v2−v3=6v_2 - v_3 = 6。
  3. KCL @ 超节点 {2, 3}（流出为正，电流源流入记在右边）：v2−122+v26+v33=2\dfrac{v_2-12}{2} + \dfrac{v_2}{6} + \dfrac{v_3}{3} = 2。
  4. 代入 v2=v3+6v_2 = v_3+6：v3−62+v3+66+v33=2⇒v3(12+16+13)=2+3−1⇒v3=4 V\dfrac{v_3-6}{2}+\dfrac{v_3+6}{6}+\dfrac{v_3}{3}=2 \Rightarrow v_3\Big(\tfrac12+\tfrac16+\tfrac13\Big) = 2+3-1 \Rightarrow v_3 = 4\,\text{V}，v2=10 Vv_2 = 10\,\text{V}。
  5. 6 V 源电流：KCL @ 2，从 2Ω 流进来 (12−10)/2=1 A(12-10)/2 = 1\,\text{A}，从 6Ω 流出 10/6=5/3 A10/6 = 5/3\,\text{A}，所以从节点 2 流进电压源 + 端的电流 =1−5/3=−2/3 A= 1 - 5/3 = -2/3\,\text{A}。实际 2/3 A2/3\,\text{A} 从节点 3 经源流到节点 2（− 进 + 出），这个源在提供 6×23=4 W6\times\tfrac23 = 4\,\text{W}。
  6. 检验 KCL @ 3：流入 = 2 A（电流源）− 2/3 A（流进电压源）= 4/3 A；流出 3Ω：4/3 A ✓。