网孔法 (mesh analysis) 与超网孔 (supermesh)

网孔法是节点法的"对偶 (dual)"：节点法的未知量是节点电压、用 KCL；网孔法的未知量是网孔电流、用 KVL。项目里的《网孔观察法详解》讲义已经有更多推导，这里集中讲第 7 讲的例子和课堂要点。

网孔电流是什么

网孔 (mesh) 是平面电路图里一个"最小的窗格"，中间没有别的支路穿过。给每个窗格假想一股沿边界转圈的电流，都取顺时针。一条支路如果只在一个网孔的边上，它的电流就是那个网孔电流；如果被两个网孔共用，它的电流是两个网孔电流之差，因为两股顺时针电流在共用边上方向相反。

类比：两个相邻的旋转门共用一面墙，墙边上的人流 = 左门转过来的 − 右门转过来的。网孔电流是记账坐标，共用支路上真实的电流不是任何一个网孔电流本身。

网孔法不需要"地"，因为 KVL 只用电压差。

例 7-1 板书·未核对 两网孔例（第 7 讲 05:00）

求网孔电流 $i_1, i_2$ 和 $R_2$ 上的电流。老师写到矩阵就留作练习，下面是补全的解。（电压源极性按讲义里的方程推定：两个源都是 + 端朝上。）

解答

KVL 网孔 1（顺时针走一圈，电压降为正）：从左下角往上穿过 $V_1$，是从 − 到 +，电压升高 16 V，记 $-V_1$；经过 $R_1$ 降 $R_1 i_1$；向下经过 $R_2$，电流是 $i_1 - i_2$，降 $R_2(i_1-i_2)$：

$$-16 + 4i_1 + 2(i_1 - i_2) = 0$$

KVL 网孔 2：向上经过 $R_2$，电流按网孔 2 的方向是 $i_2-i_1$；经过 $R_3$；向下穿过 $V_2$，从 + 到 −，电压降 1 V：

$$2(i_2 - i_1) + 3i_2 + 1 = 0$$

整理成矩阵（观察法：对角线 = 网孔里电阻之和；非对角线 = 负的共用电阻；右边 = 沿顺时针电压源造成的升高）：

$$\begin{bmatrix}6&-2\\-2&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_1\\i_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}16\\-1\end{bmatrix}\;\Rightarrow\; i_1 = 3\,\text{A},\ i_2 = 1\,\text{A}$$

$R_2$ 电流 = $i_1 - i_2 = 2\,\text{A}$，向下。

检验：中间上方节点相对底部的电压，从左边算 $16 - 4\cdot3 = 4$ V，从 $R_2$ 算 $2\cdot2 = 4$ V，从右边算 $1 + 3\cdot1 = 4$ V ✓。

网孔法遇到电流源

和节点法遇到电压源完全对偶：电流源规定电流，但它两端的电压由外电路决定，写 KVL 时会冒出一个未知电压。

超网孔从 KVL 推出来

设电流源两端电压为 $v_x$（未知）。网孔 2 的 KVL 里有 $+v_x$，网孔 3 的 KVL 里有 $-v_x$（两个网孔顺时针穿过这条支路的方向相反）。两式相加，$v_x$ 消掉，剩下的正好是沿外边界走一圈的 KVL。和超节点一样，这是两条普通方程相加的结果，不是新定律。

例 7-2 板书结构 · 数值自编 超网孔（第 7 讲 24:00）

板书上只有符号方程，下面按同样的结构取了数值。求三个网孔电流和电流源两端电压。

解答

板书的三条方程（符号形式）：

$$\begin{cases} -V_1 + R_1 i_1 + R_2(i_1-i_2) = 0 & \text{(KVL, mesh 1)}\\ R_2(i_2-i_1) + R_3 i_2 + R_4 i_3 = 0 & \text{(KVL, supermesh)}\\ i_2 - i_3 = I_s & \text{(current-source constraint)}\end{cases}$$

约束的符号怎么来：共用支路上向下的电流 = 网孔 2 顺时针在这里向下的 $i_2$ − 网孔 3 顺时针在这里向上的 $i_3$，电流源要求向下 1 A，所以 $i_2 - i_3 = 1$。

代入数值：网孔 1 是 $-12 + 2i_1 + 6(i_1-i_2)=0$；超网孔是 $6(i_2-i_1) + 1\cdot i_2 + 4i_3 = 0$。整理：

$$8i_1 - 6i_2 = 12,\qquad -6i_1 + 7i_2 + 4i_3 = 0,\qquad i_3 = i_2 - 1$$

第二式变成 $-6i_1 + 11i_2 = 4$。和第一式联立：由第一式 $i_1 = (12 + 6i_2)/8$，代入得 $-9 - 4.5i_2 + 11i_2 = 4 \Rightarrow i_2 = 2\,\text{A}$，$i_1 = 3\,\text{A}$，$i_3 = 1\,\text{A}$。

电流源电压：它和 $R_4$ 并联在同两个节点之间（上方导线 / 底部导线），所以 $v = R_4 i_3 = 4\,\text{V}$（上正下负）。

检验：$R_2$ 两端 $6(i_1-i_2) = 6\,\text{V}$；沿上方走过 $R_3$ 降 $1\times2 = 2\,\text{V}$，到电流源顶端是 4 V，和 $R_4$ 上的 4 V 一致 ✓。

第 7 讲其余讨论点

• 网孔矩阵 Z 不是节点矩阵 Y 的逆。Z 的元素是电阻 (Ω)，Y 的元素是电导 (S)，单位刚好倒数，但两者坐标不同、大小也可能不同：连通电路有 $N-1$ 个独立节点电压，却有 $B-N+1$ 个独立回路（N 为节点数，B 为支路数）。
• 平面性 (planarity)。网孔法要求电路能画在平面上且不交叉。图上有交叉线不代表不平面，也许换个画法就没有交叉。老师举了立方体电阻网络：看起来是三维的，但可以画成"大正方形套小正方形、四角相连"，是平面的。之后加一根线让它变成非平面，网孔法就不能直接用了。节点法没有这个限制。
• 理想源的端口等效。电流源串一个电阻，从外面看电流还是那个电流，电阻不影响端口；电压源并一个电阻，端口电压不变。但电阻内部仍然发热，这只是"从端口看"等效。
• 电流源两端电压不是 0，电压源的电流也不是 0。它们由外电路决定。
• 第 7 讲后半是二极管分段线性 i–v 曲线的设计，不属于这次的主题，略。