4·25

核心：沿网孔 kkk 走一圈，填第 kkk 行

沿网孔 $k$ 顺时针走一圈。左边累加电阻上的电压降（顺着行走方向），右边累加电压源的电压升。KVL：一圈下来升 = 降。

电阻上的电压降 = $R \times$ （沿行走方向流过它的电流）。电阻只在网孔 $k$ 上：电流是 $i_k$ ，电压降 $R\,i_k$ 。电阻是 $k$ 、 $j$ 共用：电流是 $i_k - i_j$ ，电压降 $R\,i_k - R\,i_j$ 。
电压源：从它的 − 端走到 + 端，电位升高 $V$ ，右边记 $+V$ ；从 + 端走到 − 端，右边记 $-V$ 。和电流方向无关，只看你走进哪个端子。

走完一圈，加起来就是：

网孔法观察规则

$Z_{kk}$ = 网孔 $k$ 一圈上所有电阻之和（共用的也算）。

$Z_{kj}$ （ $j\ne k$ ）= −（网孔 $k$ 与 $j$ 共用的电阻之和）。没共用电阻就是 0。

$v_{s,k}$ = 顺时针走网孔 $k$ 时电压源的升高之和。

同一个共用电阻同时出现在第 $k$ 行和第 $j$ 行，都是 $-R$ ，所以 $Z_{kj} = Z_{jk}$ ，矩阵对称（没有受控源时）。

另一个角度：每一列是一次"拨动实验"

让 $i_j = 1$ A，其它网孔电流全为 0。沿网孔 $k$ 顺时针走一圈的总电压降，就是 $Z_{kj}$ 。

$j = k$ ：网孔 $k$ 一圈的每个电阻都顺着行走方向流 1 A，总电压降 = 电阻之和。

$j \ne k$ ：只有共用电阻上有电流，并且方向跟网孔 $k$ 的行走方向相反，所以电压降是 $-R$ 。