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4·28

情况：电流源（已知网孔 / 超网孔）· 课上例 2

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理想电流源规定电流，但两端电压由外电路决定。走一圈时碰到它，那一笔电压降是个新的未知数，观察法填不进去。按它的位置分两种：

A. 电流源只在一个网孔的外边缘

只有一条传送带经过它，所以那个网孔电流就等于电源电流：箭头方向和顺时针一致记 +I+I，相反记 −I-I。这个网孔的 KVL 行含有未知的电源电压，而且我们不需要它，所以删掉这一行；它在别的行里的项（比如 −R ik-R\,i_k）是已知数，移到右边。

B. 电流源在两个网孔的共用支路上：超网孔

+ − V₁ R₂ Is R₄ R₁ R₃ i₁ i₂ i₃
第 7 讲的三网孔超网孔例子（课程笔记里是符号形式）。V1V_1 的 + 端在下；IsI_s 在网孔 2、3 的共用支路上，箭头朝下。

"先假装、再相消"：

  1. 给电流源两端设一个未知电压 vxv_x，上端为 +。
  2. 把它当成电压源，照常用观察法写网孔 2、3 两行： 网孔 2： −R2i1+(R2+R3) i2=−vx(右边往下过 Is，+ 进 − 出)\text{网孔 2：}\ -R_2 i_1 + (R_2 + R_3)\,i_2 = -v_x\quad(\text{右边往下过 } I_s\text{，+ 进 − 出}) 网孔 3： R4 i3=+vx(左边往上过 Is，− 进 + 出)\text{网孔 3：}\ R_4\,i_3 = +v_x\quad(\text{左边往上过 } I_s\text{，− 进 + 出})
  3. 两行相加，vxv_x 消掉： −R2i1+(R2+R3) i2+R4 i3=0-R_2 i_1 + (R_2 + R_3)\,i_2 + R_4\,i_3 = 0 这正是沿网孔 2、3 合起来的外边界（R2→R3→R4R_2 \to R_3 \to R_4，绕开 IsI_s）走一圈的 KVL。
  4. 相加让方程少了一个，用电流源本身补上：往下的支路电流是 i2−i3i_2 - i_3，所以 i2−i3=Isi_2 - i_3 = I_s。
+ − V₁ R₂ Is R₄ R₁ R₃ i₁ i₂ i₃ 超网孔边界：R₂ → R₃ → R₄（绕开 Is）
虚线就是超网孔的边界。

网孔 1 是普通网孔。左边往上过 V1V_1：+ 端在下，所以是 + 进 − 出，记 −V1-V_1。三个方程合起来就是课程笔记里的形式：

V1+R1i1+R2(i1−i2)=0,R2(i2−i1)+R3i2+R4i3=0,i2−i3=IsV_1 + R_1 i_1 + R_2(i_1 - i_2) = 0,\qquad R_2(i_2 - i_1) + R_3 i_2 + R_4 i_3 = 0,\qquad i_2 - i_3 = I_s [R1+R2−R20−R2R2+R3R401−1][i1i2i3]=[−V10Is]\begin{bmatrix} R_1+R_2 & -R_2 & 0 \\ -R_2 & R_2+R_3 & R_4 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} i_1 \\ i_2 \\ i_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -V_1 \\ 0 \\ I_s \end{bmatrix}
注意三件事

第 2 行里 i3i_3 的系数是 +R4+R_4，不是负的。这一行是超网孔行，不是普通的"自己减邻居"，对称性也没了。这是正常的。

第 3 行是电流约束，单位是 A，和其它行（V）不同。每一行自己单位一致就行。

没有"超网孔电流"。外边界上 R2R_2、R3R_3、R4R_4 的电流各不相同，未知量仍是原来的 i1,i2,i3i_1, i_2, i_3。

代入数值

+ − 12 V 3 Ω 1 A 1 Ω 2 Ω 4 Ω i₁ i₂ i₃
课程笔记没给这个电路的数值。下面的数值是我们选的，方便你看完整算一遍。
[5−30−37101−1][i1i2i3]=[−1201]⇒i1=−3, i2=−1, i3=−2 A\begin{bmatrix} 5 & -3 & 0 \\ -3 & 7 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} i_1 \\ i_2 \\ i_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -12 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\quad\Rightarrow\quad i_1 = -3,\ i_2 = -1,\ i_3 = -2\ \text{A}

全是负的：真实电流都是逆时针。这很合理，因为 12 V 源的 + 端在下，它把电流往逆时针方向推。检查约束：i2−i3=−1−(−2)=1i_2 - i_3 = -1 - (-2) = 1 A。