4·16

网孔法：规则从哪来

第一步：老老实实写 KVL

沿网孔 $k$ 顺时针走一圈。约定：左边写电阻上的电压降（沿行走方向），右边写电压源的电压升（从 − 端走到 + 端算升）。KVL 说一圈下来升 = 降。

电阻上的电压降 = $R \times$ （沿行走方向流过它的电流）：

只属于网孔 $k$ 的电阻：沿行走方向的电流就是 $i_k$ ，电压降 $R\,i_k$ 。
网孔 $k$ 与网孔 $j$ 共用的电阻：邻居的顺时针在这里方向相反，沿 $k$ 的方向电流是 $i_k - i_j$ ，电压降 $R\,(i_k - i_j)$ 。

第二步：展开

$i_k$ 在每个电阻项里都带正号，系数 = 网孔 $k$ 一圈上所有电阻之和（对角线）。 $i_j$ 只在共用电阻那一项里出现，带负号，系数 = −(共用电阻)（非对角线）。不共用电阻的两个网孔，系数是 0。同一个共用电阻同时出现在第 $k$ 、 $j$ 行，所以 $Z_{kj}=Z_{jk}$ ，对称。

直觉：每一列也是一次"拨动实验"

让所有网孔电流为 0，只让网孔 $j$ 的电流为 1 A。沿网孔 $k$ 顺时针走一圈的总电压降，就是 $Z_{kj}$ （单位 Ω）。

$j=k$ ：网孔 $k$ 的每个电阻都顺着行走方向流 1 A，电压降 = 电阻之和。

$j\ne k$ ：只有共用电阻上有电流，而且方向和网孔 $k$ 的行走方向相反，所以是 $-R$ 。

"负号"的前提：所有网孔同向

非对角线是负的，只因为相邻两个顺时针网孔在共用支路上方向相反。如果你把某个网孔取成逆时针，它和邻居在共用支路上同向，那个非对角线就变成正的。方程仍然正确，但"全部取负"的速记规则就不能用了。所以一律顺时针。

右边：沿顺时针走，遇到电压源从 − 端进、+ 端出，记 $+V$ ；从 + 端进、− 端出，记 $-V$ 。电流方向和电压源无关，只看行走方向碰到哪个端子。