YC.
4·26

课上例 1 · 第 7 讲的两网孔电路

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+ − V₁ = 16 V R₂ = 2 Ω + − V₂ = 1 V R₁ = 4 Ω R₃ = 3 Ω i₁ i₂
第 7 讲：16 V 源、R1=4 ΩR_1=4\,\Omega、共用 R2=2 ΩR_2=2\,\Omega、R3=3 ΩR_3=3\,\Omega、1 V 源。两个源都按课上的方向，+ 端在上。

第 1 行：顺时针走网孔 1（从左下角出发）

走到判断贡献
左边往上过 16 V从 − 端进、+ 端出：升v_s,1 += 16
上边往右过 R₁ = 4 Ω只属于网孔 1Z11 += 4
右边往下过 R₂ = 2 Ω和网孔 2 共用Z11 += 2, Z12 += −2
下边往左导线—

第 1 行：6 i1−2 i2=166\,i_1 - 2\,i_2 = 16。

第 2 行：顺时针走网孔 2

走到判断贡献
左边往上过 R₂ = 2 Ω和网孔 1 共用Z22 += 2, Z21 += −2
上边往右过 R₃ = 3 Ω只属于网孔 2Z22 += 3
右边往下过 1 V从 + 端进、− 端出：降v_s,2 += −1

第 2 行：−2 i1+5 i2=−1-2\,i_1 + 5\,i_2 = -1。

[R1+R2−R2−R2R2+R3][i1i2]=[V1−V2]⇒[6−2−25][i1i2]=[16−1]\begin{bmatrix} R_1+R_2 & -R_2 \\ -R_2 & R_2+R_3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} i_1 \\ i_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} V_1 \\ -V_2 \end{bmatrix}\quad\Rightarrow\quad \begin{bmatrix} 6 & -2 \\ -2 & 5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} i_1 \\ i_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 16 \\ -1 \end{bmatrix}

和老老实实写 KVL 对比

课上写的是（左边全移到一侧 = 0）：

−V1+R1i1+R2(i1−i2)=0,V2+R2(i2−i1)+R3i2=0-V_1 + R_1 i_1 + R_2(i_1 - i_2) = 0,\qquad V_2 + R_2(i_2 - i_1) + R_3 i_2 = 0

展开、把电源移到右边，得到的就是上面的矩阵。观察法只是跳过了这一步。

求解与检查

det⁡=6⋅5−(−2)(−2)=26\det = 6\cdot5 - (-2)(-2) = 26。用 2×2 逆矩阵公式（课上第 4 讲）：

i1=16⋅5−(−2)(−1)26=7826=3 A,i2=6⋅(−1)−(−2)(16)26=2626=1 Ai_1 = \frac{16\cdot 5 - (-2)(-1)}{26} = \frac{78}{26} = 3\ \text{A},\qquad i_2 = \frac{6\cdot(-1) - (-2)(16)}{26} = \frac{26}{26} = 1\ \text{A}
  1. 支路电流：4 Ω 上往右 3 A；3 Ω 上往右 1 A；2 Ω 上往下 i1−i2=2i_1 - i_2 = 2 A。
  2. 用外圈检查（最外面一大圈不是网孔，正好拿来验算）：升 16 V；降 4⋅3+3⋅1+1=164\cdot3 + 3\cdot1 + 1 = 16 V。相等。
  3. 外圈的 KVL 就是第 1 行加第 2 行，不提供新信息。所以只写网孔，不写外圈。

课上把数值求解留作练习，上面是我们补算的结果（课程笔记同样给出 i1=3i_1=3、i2=1i_2=1）。