YC.
4·21

练习题

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先自己填矩阵再点开。所有答案都用 Python 解过。

练习 1 · 节点法，3×3，只有电流源
6 A 2 Ω 4 Ω 12 Ω 6 Ω 2 Ω 1 A v₁ v₂ v₃

底边为参考节点。用观察法写出 Yv=is\mathbf{Y}\mathbf{v}=\mathbf{i}_s，求 v1,v2,v3v_1,v_2,v_3。

节点 1：2 Ω、4 Ω → 12+14=34\tfrac12+\tfrac14=\tfrac34。节点 2：4、12、6 Ω → 14+112+16=12\tfrac14+\tfrac1{12}+\tfrac16=\tfrac12。节点 3：6、2 Ω → 16+12=23\tfrac16+\tfrac12=\tfrac23。节点 1、3 之间没有直接电阻，Y13=0Y_{13}=0。

[34−140−1412−160−1623][v1v2v3]=[601]  ⇒  v1=10, v2=6, v3=3 V\begin{bmatrix} \tfrac34 & -\tfrac14 & 0 \\ -\tfrac14 & \tfrac12 & -\tfrac16 \\ 0 & -\tfrac16 & \tfrac23 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\;\Rightarrow\; v_1 = 10,\ v_2 = 6,\ v_3 = 3\ \text{V}

检查第 2 行：−2.5+3−0.5=0-2.5 + 3 - 0.5 = 0。

练习 2 · 节点法，电压源接地（情况 A）
+ − 12 V 2 Ω 8 Ω 3 Ω 1 Ω 4 A va v₁ v₂

底边为参考节点。求 v1,v2v_1, v_2。

va=12v_a = 12 V 已知，删掉它的行。节点 1 碰到 2 Ω（到 aa）、8 Ω、3 Ω，Y11=12+18+13=2324Y_{11} = \tfrac12+\tfrac18+\tfrac13 = \tfrac{23}{24}。节点 2 碰到 3 Ω、1 Ω，Y22=43Y_{22}=\tfrac43。已知的 vav_a 经 2 Ω 移到第 1 行右边：12⋅12=6\tfrac12\cdot 12 = 6。

[2324−13−1343][v1v2]=[64]  ⇒  v1=8 V, v2=5 V\begin{bmatrix} \tfrac{23}{24} & -\tfrac13 \\ -\tfrac13 & \tfrac43 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 4 \end{bmatrix}\;\Rightarrow\; v_1 = 8\ \text{V},\ v_2 = 5\ \text{V}
练习 4 · 网孔法，两网孔
+ − 10 V 4 Ω 2 Ω 3 Ω + − 12 V i₁ i₂

求 i1,i2i_1, i_2，以及中间 2 Ω 上往下的电流。

[6−2−25][i1i2]=[10−12]  ⇒  i1=1 A, i2=−2 A\begin{bmatrix} 6 & -2 \\ -2 & 5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} i_1 \\ i_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \\ -12 \end{bmatrix}\;\Rightarrow\; i_1 = 1\ \text{A},\ i_2 = -2\ \text{A}

右边 12 V：顺时针在右边往下走，+ 进 − 出，记 −12。2 Ω 上往下 i1−i2=3i_1 - i_2 = 3 A。

练习 5 · 网孔法，三网孔
+ − 24 V 2 Ω 2 Ω 1 Ω 2 Ω 2 Ω + − 12 V i₁ i₂ i₃

写出 3×3 的 Z\mathbf{Z}，求三个网孔电流。

网孔 1：2 + 2 = 4 Ω。网孔 2：2 + 1 + 2 = 5 Ω。网孔 3：2 + 2 = 4 Ω。网孔 1、3 不共用电阻，Z13=0Z_{13}=0。

[4−20−25−20−24][i1i2i3]=[240−12]  ⇒  i1=7, i2=2, i3=−2 A\begin{bmatrix} 4 & -2 & 0 \\ -2 & 5 & -2 \\ 0 & -2 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} i_1 \\ i_2 \\ i_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 24 \\ 0 \\ -12 \end{bmatrix}\;\Rightarrow\; i_1 = 7,\ i_2 = 2,\ i_3 = -2\ \text{A}
练习 6 · 网孔法，电流源在外边缘（情况 A）
3 A 5 Ω 4 Ω 2 Ω + − 6 V i₁ i₂

求 i1,i2i_1, i_2。5 Ω 对答案有影响吗？

3 A 箭头朝上，与网孔 1 的顺时针（左边往上）同向，i1=3i_1 = 3 A，删掉第 1 行。第 2 行：一圈 4 + 2 = 6 Ω，共用 4 Ω，右边 −6：

−4 i1+6 i2=−6  ⇒  6 i2=6  ⇒  i2=1 A-4\,i_1 + 6\,i_2 = -6 \;\Rightarrow\; 6\,i_2 = 6 \;\Rightarrow\; i_2 = 1\ \text{A}

5 Ω 没影响。它和电流源串联，电流反正是 3 A；它只改变电流源两端的电压（这里电流源两端是 23 V）。

练习 7 · 网孔法，共用电流源（超网孔）
+ − 12 V 2 Ω 4 Ω 3 Ω 4 A 1 Ω 4 Ω i₁ i₂ i₃

求三个网孔电流。

4 A 箭头朝下，与网孔 2 顺时针（右边往下）同向：i2−i3=4i_2 - i_3 = 4。

网孔 1（普通）：6 i1−4 i2=126\,i_1 - 4\,i_2 = 12。

超网孔 2+3（外边界：4 Ω 往上、3 Ω、1 Ω、右边 4 Ω 往下）：−4 i1+(4+3) i2+(1+4) i3=0-4\,i_1 + (4+3)\,i_2 + (1+4)\,i_3 = 0。

i1=4 A,i2=3 A,i3=−1 Ai_1 = 4\ \text{A},\qquad i_2 = 3\ \text{A},\qquad i_3 = -1\ \text{A}

检查超网孔行：−16+21−5=0-16 + 21 - 5 = 0。

第 4.5 节其它题

做法完全一样：选参考节点，接地电压源给出已知节点，浮动电压源用超节点，其余按对角线/非对角线规则填。