4·13

节点法：规则从哪来

用第 4 讲的两节点电路。 $I_1$ 从节点 1 流出（往下流进地）， $I_2$ 流入节点 2。参考节点（地）是底边。

第 4 讲的两节点电路。G₁ = 1/R₁，依此类推。

约定：左边写"通过电阻流出节点的电流"，右边写"电流源流入节点的电流"。电阻上从节点 $k$ 流向节点 $j$ 的电流是 $G\,(v_k - v_j)$ ；流向地的电流是 $G\,v_k$ （地的电压是 0）。

\text{节点 1：}\quad G_1 v_1 + G_2 (v_1 - v_2) = -I_1

\text{节点 2：}\quad G_2 (v_2 - v_1) + G_3 v_2 = +I_2

\text{节点 1：}\quad (G_1 + G_2)\,v_1 \;+\; (-G_2)\,v_2 = -I_1

\text{节点 2：}\quad (-G_2)\,v_1 \;+\; (G_2 + G_3)\,v_2 = I_2

\begin{bmatrix} G_1+G_2 & -G_2 \\ -G_2 & G_2+G_3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -I_1 \\ I_2 \end{bmatrix}

在节点 $k$ 的 KCL 里，每个接在 $k$ 上的电阻都贡献一项 $G\,(v_k - \text{另一端电压})$ 。

$v_k$ 在每一项里都出现，而且都带正号。所以 $v_k$ 的系数 = 接在 $k$ 上的所有电导之和。这就是对角线。
$v_j$ （ $j \ne k$ ）只在"直接连在 $k$ 和 $j$ 之间的电阻"那一项里出现，带负号。所以 $v_j$ 的系数 = −( $k$ 、 $j$ 之间的电导)。这就是非对角线。
没有电阻直接连 $k$ 和 $j$ ，那一项根本不存在，系数是 0。中间隔着别的节点也算 0。
同一个电阻同时出现在第 $k$ 行和第 $j$ 行，系数都是 $-G$ ，所以 $Y_{kj} = Y_{jk}$ ，矩阵对称。

直觉：每一列是一次"拨动实验"

把所有节点电压都钉在 0，只把节点 $j$ 抬高 1 V。这时从节点 $k$ 流出多少安培，就是 $Y_{kj}$ 。

$j = k$ ：节点 $k$ 高 1 V，周围全是 0 V，电流从 $k$ 经每一个相连电阻往外流，合计 = 电导之和。

$j \ne k$ ：只有 $j$ 、 $k$ 之间那个电阻两端有电压差，电流从 $j$ 流进 $k$ 。"流出 $k$ "是负的，所以是 $-G$ 。

所以 $\mathbf{Y}$ 的第 $j$ 列描述的是"拨动节点 $j$ ，整个电路各节点的电流怎么响应"。

右边很简单：电流源只是把固定电流塞进（或抽出）节点，它不依赖任何电压，所以留在等号右边。课上第 4 讲的数值（ $R_1=1,R_2=2,R_3=3\,\Omega$ ， $I_1=6,I_2=4$ A）解出 $v_1=-3$ V、 $v_2=3$ V。