5.2 补：有源 Thévenin——test source 法（例 5.4）

1. 贴胶带，接 test source。VCVS 的电压叫 $v_c$，它的 − 端接灰色底线，所以橙色节点 m 的电压就是 $v_c$。盒子里没有 independent source，$v_{oc} = 0$，只需要 $R_{eq}$：端口接电压源 $v$，求它送进 + 端的电流 $i$。
2. 读颜色。6 Ω 接在青色和灰色之间，正好是端口两端，所以 $v_1 = v$，向下的电流 $\frac{v}{6}$。3 Ω 接在青色（$v$）和橙色（$v_c$）之间，从左往右的电流 $\frac{v - v_c}{3}$。
3. 青色节点的 KCL：流进的 $i$ 分成这两路， $$i = \frac{v}{6} + \frac{v - v_c}{3}$$
4. 撕胶带：$v_c = \mu v_1 = \mu v$。代入并通分： $$\begin{aligned} i &= \frac{v}{6} + \frac{(1-\mu)\,v}{3} \\ &= \frac{(3 - 2\mu)\, v}{6} \end{aligned}$$
5. 等效电阻：$R_{eq} = \dfrac{v}{i} = \dfrac{6}{3 - 2\mu}\ \Omega$。$\mu = 0$：2 Ω（VCVS 是 0 V，橙色节点等于接地，$6 \parallel 3 = 2\ \Omega$ ✓）。$\mu = 1$：6 Ω（3 Ω 两端都是 $v$，没有电流，只剩 6 Ω ✓）。$\mu = 3$：$6/(3 - 6) = -2\ \Omega$，一个负电阻。
6. 核对 $\mu = 3$：换成测试电流源 $i = 1$ A，应得 $v = -2$ V。代回去：$v_c = 3 \times (-2) = -6$ V；6 Ω 上 $-2/6 = -\frac13$ A；3 Ω 上 $\frac{-2 - (-6)}{3} = \frac43$ A；合计 $-\frac13 + \frac43 = 1$ A ✓。

$\mu = 1.5$ 时 $3 - 2\mu = 0$：不管加多少 $v$，$i$ 都是 0，盒子从端口看像一个开路（$R_{eq} = \infty$）。这时只能用电压源测；接电流源会违反 KCL。

1. $i_x$：对圈住的一块写 KCL。穿过虚线的导线只有三根：$i_s$ 从左边流进，$i$ 从端口流进，$i_x$ 经下面的 2 Ω 流出（菱形和上面的 2 Ω 整个在圈里）。所以 $$i_x = i_s + i$$
2. 上面 2 Ω 的电流。紫色节点：流进 $i$，菱形从这里拿走 $i_c$，剩下的 $i - i_c$ 只能从右往左流过上面的 2 Ω（图中虚线箭头）。
3. 端口电压。从紫色经上面 2 Ω 到青色，再经下面 2 Ω 到灰色，两段都顺着电流方向走，都是降压： $$\begin{aligned} v &= 2(i - i_c) + 2(i + i_s) \\ &= 4i - 2i_c + 2i_s \end{aligned}$$
4. 撕胶带。$i_c = \beta i_x = \beta(i + i_s)$。
5. 代入，整理成"常数 + 系数 × $i$"。 $$v = 4i - 2\beta i - 2\beta i_s + 2i_s$$ $$v = \underbrace{2(1-\beta)\, i_s}_{v_{oc}} + \underbrace{(4 - 2\beta)}_{R_{eq}}\, i$$
6. 检查 $\beta = 0$（菱形不存在）。端口开路时 4 A 全部流过下面的 2 Ω，$v_{oc} = 2 \times 4 = 8$ V；关掉 4 A（开路）后从端口看是两个 2 Ω 串联，$R_{eq} = 4\ \Omega$。公式给 8 V、4 Ω ✓。
7. Norton。$i_{sc} = \frac{v_{oc}}{R_{eq}} = \frac{2(1-\beta)\, i_s}{2(2-\beta)} = \frac{1-\beta}{2-\beta}\, i_s$。

$\beta = 2$ 时 $R_{eq} = 0$，$i_{sc}$ 的分母为 0，"纯电压源"没法换成电流源。也正因为它是纯电压源，这时不能用电压源当 test source，这里用的是电流源。