YC.
5·07

negative feedback（负反馈）

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上一节看到，op amp 单独用时，两个输入差 0.12 mV 以上就饱和。这一节讲解决办法：把输出接回 − 输入端，叫 negative feedback。它让 op amp 自己把两个输入的差压到很小，输出停在一个有限的值上，而且这个值由外面的电路决定。

negative feedback

feedback（反馈）是把输出（或输出的一部分）接回输入端。接回 − 端叫 negative feedback；接回 + 端叫 positive feedback。

negative feedback 为什么能让输出稳住：假设输出 vov_o 偏大了。它接回 − 端，所以 v−v_- 也跟着变大，差 vd=v+−v−v_d = v_+ - v_- 变小，于是 AvdA v_d 变小，输出被拉回来。输出偏小时反过来，被推上去。误差总是被自己纠正，最后停在一个"刚好"的值上。positive feedback 正好相反：输出偏大 → v+v_+ 变大 → vdv_d 变大 → 输出更大，一路冲到电源电压。

+ − vs + − vo 输出直接接回 − 端
最简单的 negative feedback：voltage follower，输出用导线直接接回 − 端。
例题

例 1　有限 A 的 voltage follower

上图，A=105A = 10^5，vs=1v_s = 1 V，Vsat=12V_{sat} = 12 V。求 vov_o 和两个输入端的电压差。

  1. 读图求 v+v_+、v−v_-。+ 端用导线接 vsv_s 的 + 端，vsv_s 的另一端接地，所以 v+=vsv_+ = v_s。− 端用导线接在输出上，所以 v−=vov_- = v_o。
  2. 用 op amp 的模型。vo=A(v+−v−)=A(vs−vo)v_o = A(v_+ - v_-) = A(v_s - v_o)。vov_o 出现在等号两边：这就是 feedback，输出影响了自己的输入。
  3. 解方程。把 AvoAv_o 移到左边：vo+Avo=Avsv_o + Av_o = Av_s，所以
vovs=A1+A\frac{v_o}{v_s} = \frac{A}{1 + A}
  1. 代数。vo=105105+1×1=0.99999v_o = \frac{10^5}{10^5 + 1} \times 1 = 0.99999 V。在 ±12 V 之内，没有饱和，前面用线性区的模型是对的。
  2. 两个输入端的差。vd=vs−vo=1−0.99999=0.00001v_d = v_s - v_o = 1 - 0.99999 = 0.00001 V =10 μ= 10\ \muV。也可以从模型直接得到：vd=vo/A=0.99999/105≈10 μv_d = v_o / A = 0.99999/10^5 \approx 10\ \muV。

对比上一节：开环时 1 V 的输入差要求输出 10510^5 V，只能饱和。加了 feedback 以后，op amp 自己把差压到 10 µV，输出停在约 1 V。

AAvo/vs=A1+Av_o/v_s = \frac{A}{1+A}两输入的差 vs−vov_s - v_o（vs=1v_s = 1 V）
100.90910.0909 V
1000.99010.0099 V
10510^50.999990.00001 V

表里 AA 越大，输出越接近输入，两个输入端的电压越接近相等。下一节把这个现象变成做题的规则。

+ − 0.5 V + − 1 kΩ 3 kΩ vo v₋ v₊
例 2 的电路：输出经 3 kΩ、1 kΩ 分压后接到 − 端，+ 端接 0.5 V。
例题

例 2　只送回一部分输出

上图，A=104A = 10^4，Vsat=12V_{sat} = 12 V。求 vov_o、v−v_- 和两个输入端的差。

看解答
  1. 读图求 v+v_+：+ 端直接接 0.5 V 源，v+=0.5v_+ = 0.5 V。
  2. 读图求 v−v_-：op amp 的 − 端不取电流，所以 3 kΩ 和 1 kΩ 流同一个电流，是一个普通的分压器：v−=11+3 vo=vo4v_- = \frac{1}{1 + 3}\,v_o = \frac{v_o}{4}。输出只有 1/4 被送回 − 端。
  3. 用 op amp 的模型：vo=A(v+−v−)=104(0.5−vo4)=5000−2500 vov_o = A(v_+ - v_-) = 10^4\left(0.5 - \frac{v_o}{4}\right) = 5000 - 2500\,v_o。
  4. 解：2501 vo=50002501\,v_o = 5000，vo=1.9992v_o = 1.9992 V，在 ±12 V 之内。
  5. 两个输入：v−=1.9992/4=0.4998v_- = 1.9992/4 = 0.4998 V，差 vd=0.5−0.4998≈0.0002v_d = 0.5 - 0.4998 \approx 0.0002 V =0.2= 0.2 mV，正好是 vo/Av_o/A。

如果 A→∞A \to \infty：差 → 0，v−=v+=0.5v_- = v_+ = 0.5 V，vo=4×0.5=2v_o = 4 \times 0.5 = 2 V。A=104A = 10^4 时的 1.9992 V 已经非常接近。这个电路就是5·10的 noninverting amplifier。

接回 − 端还不够：稳定性

positive feedback 的代数也能解出一个数。把例 1 的两个输入对调（输出接 + 端，vsv_s 接 − 端）：vo=A(vo−vs)v_o = A(v_o - v_s)，解出 vo=AA−1 vs=1.00001v_o = \frac{A}{A - 1}\,v_s = 1.00001 V。但真实电路不会停在这里：vov_o 只要比这个值大一丁点，vdv_d 就变大，vov_o 更大，一路冲到 +12 V。代数解存在，电路却到不了，这叫不稳定 (unstable)。

反过来，接到 − 端也只是必要条件：真实 op amp 的反应有延迟，反馈可能来回过冲甚至振荡（老师用"平衡木"打比方，课本 5.5 有定量分析）。本课程的标准电路都按"negative feedback 而且稳定"处理，下一节的规则才能用。