5·28 和上周内容结合：叠加、戴维南、级联

第 4 题

$v_1 = 1.2$ V， $v_2 = 2.0$ V，求 $v_o$ 。再写出 $v_o$ 和 $v_1, v_2$ 的一般关系。

提示

每次只留一个输入，另一个接地（独立源关掉）。运放是受控源，不能关。

看解答

只留 $v_1$ （ $v_2 = 0$ ）：+ 端没有电流， $R_3$ 、 $R_4$ 上没有压降，+ 端 = 0 V。这就是反相放大器： $v_o' = -\frac{30}{10}\times 1.2 = -3.6$ V。

只留 $v_2$ （ $v_1 = 0$ ， $R_1$ 接地）：+ 端是分压 $v_+ = \frac{30}{10 + 30}\times 2 = 1.5$ V；对 + 端来说是同相放大器，增益 $1 + \frac{30}{10} = 4$ ： $v_o'' = 6$ V。

v_o = -3.6 + 6 = 2.4\ \text{V}

一般关系： $v_o = -3v_1 + \frac34\cdot 4\,v_2 = 3(v_2 - v_1)$ 。两个输入相同的部分被抵消，只放大差值，所以叫差分放大器 (difference amplifier)。代入： $3 \times 0.8 = 2.4$ V ✓

第 5 题

传感器的戴维南等效是 1 V 串 3 kΩ。设计者以为增益是 $-8/1 = -8$ 。分别求 (a)、(b) 的 $v_o$ 。

提示

(a) 中 $R_s$ 和 1 kΩ 是串联的。(b) 中跟随器 + 端不取电流， $R_s$ 上有没有压降？

看解答

(a) − 端是虚地，从源到虚地一共是 $3 + 1 = 4$ kΩ，电流 $\frac{1}{4} = 0.25$ mA：

v_o = -0.25 \times 8 = -2\ \text{V}

只有预期的四分之一。增益其实是 $-\frac{8}{R_s + 1}$ ，取决于传感器内阻。

(b) 跟随器 + 端电流为 0， $R_s$ 上没有压降，跟随器输出 = 1 V。它的输出是理想电压源（戴维南电阻 0），后面的 1 kΩ 取多少电流都不影响这 1 V：

v_o = -\frac{8}{1}\times 1 = -8\ \text{V}

和上周的联系

"源 + 内阻"就是戴维南等效。跟随器把 $R_{th} = 3$ kΩ 的源变成了 $R_{th} = 0$ 的源，所以后级怎么接都不会"拉低"电压。

第 6 题

求第一级输出 $v_1$ 和最终 $v_o$ 。第二级的 5 kΩ 会从第一级抽电流，这会不会改变 $v_1$ ？

提示

课本例 5.14：同相放大器的等效电路是"输入开路 + 输出端接地的 VCVS"。VCVS 没有串联电阻。

看解答

第一级是同相放大器，增益 $1 + \frac{20}{10} = 3$ ： $v_1 = 3 \times 0.5 = 1.5$ V。

第一级的输出等效是一个理想的受控电压源 $3v_s$ ，没有内阻，所以第二级抽走 $\frac{1.5}{5} = 0.3$ mA 也不会改变 $v_1$ 。

第二级是反相，增益 $-\frac{15}{5} = -3$ ：

v_o = -3 \times 1.5 = -4.5\ \text{V},\qquad \text{总增益} = 3 \times (-3) = -9

对比第 5 题 (a)：那里的"前级"有 3 kΩ 内阻，所以增益不能直接相乘。理想运放级联时增益可以直接相乘，正是因为输出电阻为 0。