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5·14

nullor 例题：follower、反相、差分、图 5.84

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nullor 节点法
  1. 每个 op amp 换成一对：nullator 接在两个输入端之间，norator 从输出端接到地。
  2. 未知数是各节点电压，包括 vov_o。nullator 两端电压相等，算同一个未知数。
  3. 对普通节点写 KCL。nullator 不进电流，所以输入端所在的节点照常写，不用管 op amp。
  4. 有 norator 的节点（op amp 输出）不写 KCL：它的电流还不知道。
  5. 方程数 = 未知数，解出来。要 op amp 的输出电流，最后再对输出节点写 KCL。
例题

例 1　voltage follower 带负载

+ − 3 V + − 1 kΩ v₊ − 端连到输出 vo
① + 端（紫）接 3 V；− 端用导线接到输出，和输出是同一个节点（橙）。
+ − 3 V 1 kΩ + 端 − 端 = 输出 vo nullator norator
② op amp 换成 nullor：nullator 连紫、橙两点，norator 从橙到地。

求 vov_o、信号源的电流和 op amp 输出的电流。

  1. 未知数只有 vov_o：橙色节点（− 端 = 输出）只有一个电压。
  2. nullator 两端（紫、橙）电压相等，紫色节点直接接 3 V 源，所以 vo=3v_o = 3 V。一条 KCL 都不用写。
  3. nullator 不进电流，所以 3 V 源出 0 mA。
  4. 负载电流 3/1=33/1 = 3 mA 只能从 norator 来。对输出节点写 KCL：norator 往外送 3 mA。

没有 op amp 时，信号源要自己出这 3 mA。有了 follower，电压一样，电流全由 op amp 出，这就是5·11说的"隔离"。

例题

例 2　inverting amplifier 带负载

+ − 1 V 2 kΩ 8 kΩ 2 kΩ vo v₋ nullator norator （+ 端接地）
+ 端接地，所以 nullator 的下端接地。

求 vov_o 和 op amp 输出端的电流。

  1. 未知数：v−v_- 和 vov_o。
  2. nullator：v−=v+=0v_- = v_+ = 0。
  3. − 端 KCL（nullator 不进电流）：
v−−12+v−−vo8=0\frac{v_- - 1}{2} + \frac{v_- - v_o}{8} = 0⇒ −12+−vo8=0 ⇒ vo=−4 V\Rightarrow\ \frac{-1}{2} + \frac{-v_o}{8} = 0 \ \Rightarrow\ v_o = -4\ \text{V}
  1. 输出节点有 norator，解 vov_o 时不写它的 KCL。解完再写，求 norator 电流：流出 norator 的电流 = 流进负载的 −42=−2\frac{-4}{2} = -2 mA，加上流进 8 kΩ 的 −4−08=−0.5\frac{-4 - 0}{8} = -0.5 mA，共 −2.5 mA。负号表示电流其实是 2.5 mA 流进 op amp 输出端。

把负载换成别的电阻，vov_o 还是 −4 V（只要不饱和），变的只有 norator 电流。这就是"norator 的电流由外电路定"。

例题

例 3　difference amplifier（差分放大电路）

+ − 3 V 10 kΩ + − 1 V 10 kΩ 10 kΩ 10 kΩ vo v₋ v₊ nullator norator
四个电阻都是 10 kΩ；3 V 经电阻接 − 端，1 V 经分压接 + 端。

求 vov_o。

  1. + 端：nullator 不进电流，所以 + 端那边是一个普通的分压器：v+=1×1010+10=0.5v_+ = 1 \times \frac{10}{10 + 10} = 0.5 V。
  2. nullator：v−=v+=0.5v_- = v_+ = 0.5 V。
  3. − 端 KCL：
0.5−310+0.5−vo10=0\frac{0.5 - 3}{10} + \frac{0.5 - v_o}{10} = 0⇒ vo=0.5−2.5=−2 V\Rightarrow\ v_o = 0.5 - 2.5 = -2\ \text{V}

正好是 1−3=−21 - 3 = -2 V：四个电阻相等时，输出 = 两个输入电压之差。一般情况 v+=v2/2v_+ = v_2/2，KCL 给出 vo=v2−v1v_o = v_2 - v_1。

例题

例 4　课本图 5.84（两个未知数）

+ − 8 V 2 kΩ 2 kΩ + − 2 V 2 kΩ + − 6 kΩ 3 kΩ v₊ v₋ vo
① 节点上色：+ 端（紫）、2 V 源右边（绿）、− 端（青）、输出（橙）、地（灰）；8 V 源上端是已知的 8 V。
+ − 8 V 2 kΩ 2 kΩ + − 2 V 2 kΩ 6 kΩ 3 kΩ v v v+2 vo 超节点（紫 + 绿）
② nullator 连紫、青两点，norator 从橙到地，其余不变。单位 kΩ、mA、V。求 vv 和 vov_o。

未知数：紫色节点 vv 和 vov_o。2 V 源让绿色节点 = v+2v+2，紫 + 绿是一个超节点；nullator 让青色节点也是 vv；橙色节点有 norator，不写 KCL。超节点和青色节点的 KCL：

v−82+v2+v+2−vo2=0\frac{v-8}{2} + \frac{v}{2} + \frac{v+2-v_o}{2} = 0v6+v−vo3=0\frac{v}{6} + \frac{v - v_o}{3} = 0

第二式 vo=1.5vv_o = 1.5v，代入第一式 3v−6−1.5v=03v - 6 - 1.5v = 0：v=4v = 4 V，vo=6v_o = 6 V。

用有限 A 核对：放大其实一直在

不换 nullor，直接用 vo=A(v+−v−)v_o = A(v_+ - v_-)。KCL 和上面一样（输入端不进电流），只是两个输入端各有一个未知数。超节点（紫色节点叫 v+v_+）：

v+−82+v+2+v++2−vo2=0\frac{v_+ - 8}{2} + \frac{v_+}{2} + \frac{v_+ + 2 - v_o}{2} = 0

得 v+=6+vo3v_+ = \frac{6 + v_o}{3}。− 端（青色节点）：

v−6+v−−vo3=0\frac{v_-}{6} + \frac{v_- - v_o}{3} = 0

得 v−=23vov_- = \frac{2}{3} v_o。代入 vo=A(v+−v−)=A⋅6−vo3v_o = A(v_+ - v_-) = A \cdot \frac{6 - v_o}{3}，解出 vo=6AA+3v_o = \frac{6A}{A + 3}：

AAvov_o (V)v+v_+ (V)v−v_- (V)v+−v−v_+ - v_- (V)
104.61543.53853.07690.4615
1005.82523.94173.88350.0583
10005.98213.99403.98800.0060
10510^55.99983.99993.99990.00006
∞\infty6440

AA 越大，两个输入越接近（差正好是 vo/Av_o/A），vo→6v_o \to 6 V，v+,v−→4v_+, v_- \to 4 V，就是 nullor 的答案。真实的 op amp 一直在比较、一直在放大：0.06 mV 的差乘上 10510^5 就是 6 V 输出。只是 AA 大到一定程度，它具体是多少已经不影响结果了。