5·30 虚短什么时候不准、不能用

第 10 题

有限开环增益的误差

运放不理想： $v_o = A(v_+ - v_-)$ ， $A$ 有限，其他理想。
(a) 推出 $v_o / v_s$ 。
(b) $A = 1000$ 时增益是多少，误差多大？
(c) 要误差小于 0.1%， $A$ 至少多大？

提示

此时 $v_- = -v_o/A$ ，不再是 0。在 − 端写 KCL。

看解答

(a) 令 $k = R_f/R_1 = 9$ 。− 端 KCL（kΩ、mA）： $\frac{v_s - v_-}{1} = \frac{v_- - v_o}{9}$ ，代入 $v_- = -v_o/A$ 整理：

\frac{v_o}{v_s} = -\frac{k}{1 + \dfrac{1+k}{A}} = -\frac{9}{1 + \dfrac{10}{A}}

$A$	增益	误差
$10^3$	−8.9109	≈ 1%
$10^4$	−8.9910	≈ 0.1%
$10^5$	−8.9991	≈ 0.01%

(c) 误差约等于 $\frac{1+k}{A}$ ，要小于 0.001 就要 $A \gtrsim 10^4$ 。注意是和 $1 + k$ 比，不是和 1 比：要的增益越大，对 $A$ 的要求越高（第 10 讲 46:00 的结论）。

第 11 题

两边都有反馈：先判稳定再算

(a) $R_4 = 2$ kΩ：按理想运放求 $v_o$ ，并用课本 5.5 的 $F_+$ 、 $F_-$ 判断电路是否稳定。
(b) $R_4 = 6$ kΩ：重复。

提示

判稳定时把独立源关掉（1 V 短路）， $F_+$ 是输出分到 + 端的比例， $F_-$ 是分到 − 端的比例。 $F_- > F_+$ 才稳定。

看解答

+ 端（不进电流）由 1 V 和 $v_o$ 通过 3 kΩ、6 kΩ 叠加： $v_+ = \frac{6}{9}\cdot 1 + \frac{3}{9}v_o = \frac{2 + v_o}{3}$ 。− 端是分压： $v_- = \frac{2}{2 + R_4}v_o$ 。

(a) $R_4 = 2$ ： $\frac{v_o}{2} = \frac{2 + v_o}{3} \Rightarrow v_o = 4$ V。
稳定性： $F_+ = \frac{3}{3+6} = \frac13$ ， $F_- = \frac{2}{2+2} = \frac12$ 。 $F_- > F_+$ ，稳定，4 V 可信。

(b) $R_4 = 6$ ： $\frac{v_o}{4} = \frac{2 + v_o}{3} \Rightarrow v_o = -8$ V。
但 $F_- = \frac{2}{8} = \frac14 < F_+ = \frac13$ ：正反馈占上风，不稳定。真实电路的输出会冲到 +12 V 或 −12 V，不会停在 −8 V。

这题的教训

虚短的方程永远能解出一个数，哪怕电路根本不稳定。所以要先看反馈，再用虚短。

第 12 题 · 挑战

负电阻

(a) 从端子 a 对地看进去的等效电阻是多少？
(b) 用电压源测它，和用电流源测它，哪个能得到稳定的结果？

提示

端子上加电压 $v$ ，求流进的电流 $i$ 。− 端的两个 10 kΩ 是分压器。

看解答

(a) 虚短： $v_- = v_+ = v$ 。− 端两个 10 kΩ 分压： $v_- = \frac{v_o}{2}$ ，所以 $v_o = 2v$ 。+ 端不进电流，端子电流全部流过 5 kΩ：

i = \frac{v - 2v}{5} = -\frac{v}{5}\ \text{mA} \ \Rightarrow\ R_{in} = \frac{v}{i} = -5\ \text{k}\Omega

你往里推电压，它反而往外送电流，这就是负电阻（负阻抗变换器，negative impedance converter）。能量来自运放的电源。

(b) 关掉测试源判稳定：

电压源测：关掉后是短路，+ 端被钉在 0， $F_+ = 0 < F_- = \frac12$ ，稳定。
电流源测：关掉后是开路，5 kΩ 没电流， $v_+ = v_o$ ， $F_+ = 1 > F_- = \frac12$ ，不稳定。

所以只能用电压源测（课本叫"短路稳定、开路不稳定"，见图 5.80、5.81）。