YC.
5·18

5.5 补：饱和与 stability

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前两节默认了两件事：op amp 工作在线性区（vo=A(v+−v−)v_o = A(v_+ - v_-) 成立），而且电路会稳定在一个工作点上。这一节讲这两件事不成立时怎么分析。饱和本身是什么（输出被限制在 ±Vsat\pm V_{sat} 之间，VsatV_{sat} 约等于电源电压）见 5·06；这里讲怎样判断一个设计会不会饱和、饱和以后各节点电压是多少，以及另一种让理想模型失效的情况：不稳定。常见问法："输入多大时输出饱和""饱和时 v−v_- 是多少""这个电路稳定吗"。

① 饱和以后怎么算

饱和时还剩哪些规则

输出到了 +Vsat+V_{sat} 或 −Vsat-V_{sat} 以后就不再变，op amp 的输出端等于一个固定的电压源。反馈不再能调节输出，所以 v+=v−v_+ = v_- 不再成立。但输入端仍然不取电流（i+=i−=0i_+ = i_- = 0），这条照样能用。（和 5·03 例 4 的饱和 VCVS 是同一件事：op amp 就是一个会饱和的 VCVS。）

饱和检查
  1. 先用理想模型（virtual short）算出 vov_o。
  2. ∣vo∣≤Vsat|v_o| \le V_{sat}：答案成立。
  3. 超出：输出取 ±Vsat\pm V_{sat}，和刚才算出的值同号。把输出当成这个电压源，用"输入端不取电流"重新求 v−v_-、v+v_+。
  4. 检查：正饱和要求 v+−v−>0v_+ - v_- \gt 0，负饱和要求 v+−v−<0v_+ - v_- \lt 0（AA 乘上这个差，才会把输出推向那一边）。
例题

例 1　inverting amplifier 饱和（R₁ = 2 kΩ，R₂ = 14 kΩ，电源 ±12 V）

理想增益 G=−R2/R1=−7G = -R_2/R_1 = -7。求 (a) vin=1.5v_{in} = 1.5 V 和 (b) vin=2v_{in} = 2 V 时的 vov_o、v−v_-；(c) 输出不饱和时 ∣vin∣|v_{in}| 最大能到多少。

  1. (a) 理想模型：vo=−7×1.5=−10.5v_o = -7 \times 1.5 = -10.5 V。∣−10.5∣≤12|-10.5| \le 12，没饱和，答案成立，v−=0v_- = 0（virtual ground）。
  2. (b) 第 1 步，理想模型：vo=−7×2=−14v_o = -7 \times 2 = -14 V，超出 −12 V，作废。
  3. (b) 第 2 步，输出取负饱和：vo=−12v_o = -12 V，当成一个电压源。
  4. (b) 第 3 步，重新求 v−v_-。op amp 仍然不取电流，所以 − 端 KCL 只有两个电阻（kΩ、mA、V）：v−−22+v−−(−12)14=0\frac{v_- - 2}{2} + \frac{v_- - (-12)}{14} = 0 两边乘 14：7v−−14+v−+12=07v_- - 14 + v_- + 12 = 0，8v−=28 v_- = 2，v−=0.25v_- = 0.25 V，不是 0。
  5. (b) 第 4 步，检查：v+−v−=0−0.25=−0.25v_+ - v_- = 0 - 0.25 = -0.25 V <0\lt 0，AA 乘上它是一个很大的负数，确实把输出推向负电源，和 −12 V 一致 ✓。
  6. (c) 不饱和要求 ∣vo∣=7 ∣vin∣≤12|v_o| = 7\,|v_{in}| \le 12，所以 ∣vin∣≤12/7≈1.71|v_{in}| \le 12/7 \approx 1.71 V。
例题

例 2　noninverting amplifier 饱和（R1=1R_1 = 1 kΩ，R2=4R_2 = 4 kΩ，电源 ±10 V，vin=3v_{in} = 3 V）

R1R_1 从 − 端到地，R2R_2 从输出接回 − 端，理想增益 1+4/1=51 + 4/1 = 5。求 vov_o、v−v_-，检查假设；不饱和时 vinv_{in} 最大能到多少？

看解答
  1. 理想模型：vo=5×3=15v_o = 5 \times 3 = 15 V，超出 +10 V，作废。
  2. 输出取正饱和：vo=+10v_o = +10 V。
  3. − 端不取电流，R2R_2、R1R_1 分压：v−=11+4×10=2v_- = \frac{1}{1+4} \times 10 = 2 V。+ 端直接接输入：v+=3v_+ = 3 V。
  4. 检查：v+−v−=1v_+ - v_- = 1 V >0\gt 0，把输出推向正电源，和 +10 V 一致 ✓。v+≠v−v_+ \ne v_-，virtual short 失效。
  5. 不饱和要求 5 vin≤105\, v_{in} \le 10，即 vin≤2v_{in} \le 2 V。

② 同一个"答案"，两个完全不同的电路

课本图 5.70 的两个电路只差一处：反馈电阻 R2R_2 接回 − 端，还是接回 + 端（信号也从同一个输入端进）。

+ − vin R1 R2 − + vo
(a) R₂ 接回 − 端：普通 inverting amplifier。
+ − vin R1 R2 + − vo
(b) 只把 op amp 的 + − 对调：R₂ 接回 + 端。

用 virtual short 两条规则算，两个电路的方程完全一样：接 R1R_1、R2R_2 的那个输入端被拉到 0 V，在那个节点写 KCL 得 vo=−R2R1vinv_o = -\frac{R_2}{R_1} v_{in}。规则不区分 + 端和 − 端，所以给出同一个答案。可实际上 (b) 根本不工作，输出直接冲到电源电压。

例题

例 3　有限 A 的代数也分不出来

+ − vin + − 1 kΩ 4 kΩ v₊ v₋ vo
(a) 同相放大器：分压（青）送回 − 端，信号（紫）进 + 端。
+ − vin − + 1 kΩ 4 kΩ v₋ v₊ vo
(b) 只把 + − 对调：分压（青）送回 + 端，信号（紫）进 − 端。

图 5.70 那一对的毛病，同相放大器也有：把它的 + − 对调就得到 (b)。用有限增益模型分别求两个电路的 GG，看 AA 很大时会怎样。

  1. 两张图的青色节点一样。op amp 不取电流，4 kΩ 和 1 kΩ 是分压器：青色节点的电压 =Fvo= F v_o，F=11+4=0.2F = \frac{1}{1+4} = 0.2。紫色节点就是 vinv_{in}。
  2. (a)：v+=vinv_+ = v_{in}、v−=Fvov_- = F v_o。vo=A(vin−Fvo)v_o = A(v_{in} - F v_o)，移项 (1+AF) vo=A vin(1 + AF)\, v_o = A\, v_{in}：Ga=A1+AFG_a = \frac{A}{1 + AF}
  3. (b)：v+=Fvov_+ = F v_o、v−=vinv_- = v_{in}。vo=A(Fvo−vin)v_o = A(F v_o - v_{in})，移项 (1−AF) vo=−A vin(1 - AF)\, v_o = -A\, v_{in}：Gb=−A1−AF=AAF−1G_b = \frac{-A}{1 - AF} = \frac{A}{AF - 1}
  4. AA 很大：分子分母同除以 AA，两个都 → 1F=5\frac1F = 5。A=105A = 10^5 时 Ga=4.99975G_a = 4.99975，Gb=5.00025G_b = 5.00025，几乎一样。

差别在分母：(a) 是 1+AF1 + AF（loop gain −AF-AF，negative feedback），(b) 是 1−AF1 - AF（loop gain +AF+AF，positive feedback）。直流方程有解，不代表电路真会停在这个解上。要判断它停不停得住，得看输出偏离一点点以后会怎样，这就是 stability。

③ stability：输出偏一点以后会怎样

把所有输入置零，理想情况下输出应该是 0。但开机瞬间总有一点扰动，假设输出偏离了一个小量 Δ\Delta。电阻网络把它的一部分送回两个输入端：− 端得到 F−ΔF_- \Delta，+ 端得到 F+ΔF_+ \Delta。op amp 看到的差是 (F+−F−)Δ(F_+ - F_-)\Delta，于是把输出再推 A(F+−F−)ΔA(F_+ - F_-)\Delta：

  • F−>F+F_- \gt F_+：推的方向和 Δ\Delta 相反，偏差被纠正，输出回到 0，稳定。
  • F+>F−F_+ \gt F_-：推的方向和 Δ\Delta 相同，偏差越来越大，输出一直冲到 ±Vsat\pm V_{sat}，不稳定。
− + R3 R4 R1 R2 vo negative feedback F₋ positive feedback F₊
课本图 5.74（输入已置零）：输出经 R4R_4、R3R_3 分压送回 − 端，经 R2R_2、R1R_1 分压送回 + 端。
stability 判据（课本 5.5）

把所有 independent source 置零（电压源 → 短路，电流源 → 开路），算输出送回两个输入端的比例：

F−=v−vo,F+=v+voF_- = \frac{v_-}{v_o},\qquad F_+ = \frac{v_+}{v_o}

图 5.74 里 F−=R3R3+R4F_- = \frac{R_3}{R_3 + R_4}，F+=R1R1+R2F_+ = \frac{R_1}{R_1 + R_2}。F−>F+F_- \gt F_+（negative feedback 多于 positive feedback）→ stable，可以放心用理想模型。F+>F−F_+ \gt F_- → unstable，理想模型算出的答案没有意义。

例题

例 4　判断稳定性

(a) 图 5.70(a)，R1=2R_1 = 2 kΩ、R2=10R_2 = 10 kΩ。(b) 图 5.70(b)，同样的电阻。(c) 图 5.74，R3=1R_3 = 1 kΩ、R4=4R_4 = 4 kΩ、R1=1R_1 = 1 kΩ、R2=9R_2 = 9 kΩ。

看解答
  1. (a) vinv_{in} 置零（短路）后 R1R_1 左端接地，R2R_2、R1R_1 把输出分到 − 端：F−=212=16F_- = \frac{2}{12} = \frac16。+ 端直接接地：F+=0F_+ = 0。F−>F+F_- \gt F_+，稳定 ✓。
  2. (b) 同样的分压现在送到 + 端：F+=16F_+ = \frac16；− 端接地：F−=0F_- = 0。F+>F−F_+ \gt F_-，不稳定 ✗。
  3. (c) F−=11+4=0.2F_- = \frac{1}{1+4} = 0.2，F+=11+9=0.1F_+ = \frac{1}{1+9} = 0.1。F−>F+F_- \gt F_+，稳定 ✓：虽然有 positive feedback，但 negative feedback 更多。

④ 判据从哪来：动态模型

③ 里"推一下"的论证，课本用一个微分方程写得更准确。真实 op amp 的输出不能瞬间变化，课本在 VCVS 方程里加一个修正项（课本把 op amp 增益写成 μ\mu，就是这里的 AA）：

vo=μ(v+−v−)−1ωodvodtv_o = \mu (v_+ - v_-) - \frac{1}{\omega_o}\frac{dv_o}{dt}

ωo\omega_o 叫 open loop bandwidth（开环带宽），单位 s−1\text{s}^{-1}；741 op amp 约 10π s−110\pi\ \text{s}^{-1}，μ≈105\mu \approx 10^5。直流时导数为 0，又回到 vo=μ(v+−v−)v_o = \mu(v_+ - v_-)。

  1. 输入置零：v+=F+vov_+ = F_+ v_o，v−=F−vov_- = F_- v_o。代入：vo=μ(F+−F−) vo−1ωodvodtv_o = \mu(F_+ - F_-)\, v_o - \frac{1}{\omega_o}\frac{dv_o}{dt}。
  2. 两边乘 ωo\omega_o，移项：dvodt+a vo=0\frac{dv_o}{dt} + a\, v_o = 0 a=[1−μ(F+−F−)] ωoa = [1 - \mu(F_+ - F_-)]\,\omega_o
  3. 这是一阶线性齐次方程，分离变量积分得 vo(t)=vo(0) e−atv_o(t) = v_o(0)\, e^{-at}。vo(0)v_o(0) 是 initial condition for the output voltage：开机瞬间电源接通带来的扰动。
1/|a| 2/|a| vₒ(0) 0 t a < 0 不稳定 a = 0 临界 a > 0 稳定
a>0a \gt 0：扰动衰减到 0（stable）；a<0a \lt 0：越来越大（unstable），实际冲到饱和；a=0a = 0：保持不变（marginally stable）。

μ\mu 很大时 a≈μ(F−−F+) ωoa \approx \mu(F_- - F_+)\,\omega_o，符号由 F−−F+F_- - F_+ 决定，这就是 ③ 的判据。数字（μ=105\mu = 10^5、ωo=10π s−1\omega_o = 10\pi\ \text{s}^{-1}）：图 5.70(a) F+=0F_+ = 0、F−=16F_- = \frac16，a=(1+1056)×10π≈5.24×105 s−1a = (1 + \frac{10^5}{6}) \times 10\pi \approx 5.24 \times 10^5\ \text{s}^{-1}，扰动大约 1/a≈1.9 μs1/a \approx 1.9\ \mu\text{s} 就衰减掉。图 5.70(b) 对调后 a≈−5.24×105 s−1a \approx -5.24 \times 10^5\ \text{s}^{-1}，扰动每 1.9 μs 放大 e 倍，几微秒内冲到饱和。

⑤ 测有源子电路时也要检查稳定

例题

例 5　课本图 5.80：用 op amp 做的负电阻

− + r r R a v₋ vo + − v i
(a) 用电压源 vv 测。
− + r r R a v₋ vo i
(b) 用电流源 ii 测。

两个 rr 相等。端口是节点 a（紫）和地（灰），ii 从测试源流进 a。青色是 − 端（两个 rr 中间），橙色是输出。先用理想模型求 Req=v/iR_{eq} = v/i，再判断两种测法稳不稳定。

  1. 读颜色：+ 端就在紫色节点 a 上；RR 接在紫色和橙色之间；两个 rr 从橙色串到灰色，中间是青色的 − 端。
  2. − 端：op amp 不取电流，两个相等的 rr 分压：v−=12vov_- = \frac12 v_o。
  3. virtual short：v−=v+=vv_- = v_+ = v，所以 12vo=v\frac12 v_o = v，vo=2vv_o = 2v。
  4. 端口电流：+ 端不取电流，从 a 流进的 ii 全部经 RR 流向输出：i=v−voR=v−2vR=−vRi = \frac{v - v_o}{R} = \frac{v - 2v}{R} = -\frac{v}{R}。
  5. 等效电阻：Req=v/i=−RR_{eq} = v/i = -R，一个负电阻。
  6. (a) 稳定性：电压源置零 = 短路，紫色节点接地，F+=0F_+ = 0；F−=12F_- = \frac12。F−>F+F_- \gt F_+，稳定 ✓。
  7. (b) 稳定性：电流源置零 = 开路，紫色节点只连着 RR 和 + 端，都不取电流，RR 上没有压降，v+=vov_+ = v_o，F+=1F_+ = 1；F−=12F_- = \frac12。F+>F−F_+ \gt F_-，不稳定 ✗。

同一个子电路，接电压源（或短路）时稳定、接电流源（或开路）时不稳定，叫 short circuit stable（或 open circuit unstable）。所以只能用电压源测它；用电流源测，输出冲到饱和，得不到任何有用的结果。

常见错误
  • 饱和时还用 v+=v−v_+ = v_-：饱和后只剩"输入端不取电流"这一条。
  • 饱和值取错符号：和理想答案同号。
  • 只用 virtual short 算出答案就以为电路能工作：先确认 F−>F+F_- \gt F_+。
  • 置零时把电流源换成短路：电压源 → 短路，电流源 → 开路。

详细讲解见：5·07（negative feedback、"positive feedback"一段）