YC.
5·09

inverting amplifier（反相放大器）

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inverting amplifier 是最常用的 op amp 电路：输出等于输入乘一个负的常数，这个常数只由两个电阻的比决定。这一节用5·08的两条规则推出它的公式，再做三个例子。

+ − vin R1 − + R2 vo v₋ i i
输入经 R1R_1 进 − 端，R2R_2 从输出接回 − 端，+ 端接地。两个橙色箭头是电流 ii 的参考方向（都从左往右）。

① 读图

先只看图，不用任何规则：

  • + 端用导线接地，所以 v+=0v_+ = 0。
  • R1R_1 接在输入 vinv_{in} 和 − 端之间；R2R_2 接在 − 端和输出之间。
  • 输出经 R2R_2 接回 − 端，所以是 negative feedback，可以用规则 2。
  • 电流的参考方向：R1R_1 上从 vinv_{in} 流向 − 端，R2R_2 上从 − 端流向输出。

② 用两条规则

  1. 规则 2：v−=v+=0v_- = v_+ = 0，− 端是 virtual ground。
  2. R1R_1 上的电流（欧姆定律：左端 vinv_{in}，右端 0）：i=vin−0R1=vinR1i = \frac{v_{in} - 0}{R_1} = \frac{v_{in}}{R_1}。
  3. 规则 1：这个电流流到 − 端以后不能进 op amp，只能全部继续流进 R2R_2，所以 R2R_2 上也是 ii。这就是 − 端节点的 KCL。
  4. R2R_2 上的电流（左端 0，右端 vov_o）：i=0−voR2i = \frac{0 - v_o}{R_2}。
  5. 两式相等，解出 vov_o：
vinR1=−voR2⇒vo=−R2R1 vin\frac{v_{in}}{R_1} = \frac{-v_o}{R_2}\quad\Rightarrow\quad v_o = -\frac{R_2}{R_1}\,v_{in}
inverting amplifier

电压增益 (voltage gain) vovin=−R2R1\dfrac{v_o}{v_{in}} = -\dfrac{R_2}{R_1}，只由电阻比决定，和 AA 无关。从信号源看进去的输入电阻是 R1R_1。

负号是什么意思。电流 ii 从 vinv_{in} 流到 0 V 的 − 端，再从 − 端流向输出。电流从高电压流向低电压，所以 vin>0v_{in} \gt 0 时，输出只能比 0 V 低。输入是正弦波时，输出是上下翻转的正弦波（例 3），所以叫"反相"。

输入电阻为什么是 R1R_1。信号源送出的电流是 i=vin/R1i = v_{in}/R_1，所以从信号源看，整个电路的输入电阻是 vin/i=R1v_{in}/i = R_1。注意区分：op amp 本身的 Rin=∞R_{in} = \infty，但整个电路的输入电阻是 R1R_1，因为电流经 R1R_1 流到 virtual ground，再经 R2R_2 流到输出。

③ 例题

+ − 1.5 V 2 kΩ − + 6 kΩ vo v₋ i i
例 1 的电路。
例题

例 1　照步骤算一遍

R1=2R_1 = 2 kΩ，R2=6R_2 = 6 kΩ，vin=1.5v_{in} = 1.5 V，Vsat=12V_{sat} = 12 V。求 vov_o、电流 ii、电路的输入电阻，以及 op amp 输出端的电流。

  1. 读图：+ 端接地，v+=0v_+ = 0；6 kΩ 把输出接回 − 端，是 negative feedback。
  2. 规则 2：v−=0v_- = 0。
  3. R1R_1 上的电流（单位 V、kΩ、mA）：i=1.5−02=0.75i = \frac{1.5 - 0}{2} = 0.75 mA。
  4. 规则 1：同样的 0.75 mA 从 − 端流进 R2R_2，流向输出。
  5. 求 vov_o：R2R_2 上的电压降是 iR2=0.75×6=4.5iR_2 = 0.75 \times 6 = 4.5 V，电流从 − 端（0 V）流向输出，所以输出比 0 V 低 4.5 V：vo=0−4.5=−4.5v_o = 0 - 4.5 = -4.5 V。用公式核对：−62×1.5=−4.5-\frac{6}{2} \times 1.5 = -4.5 V ✓。
  6. 检查饱和：∣−4.5∣<12|-4.5| \lt 12，在线性区 ✓。
  7. 输入电阻：vin/i=1.5/0.75=2v_{in}/i = 1.5/0.75 = 2 kΩ，就是 R1R_1。
  8. op amp 输出端的电流：现在 vov_o 已知，可以对输出节点写 KCL 了。从 R2R_2 流到输出节点的 0.75 mA，除了 op amp 输出端没有别的去处（没接负载），所以它流进 op amp 的输出端：op amp 吸收 0.75 mA。
例题

例 2　设计：增益最大能做到多少（三个要求一起满足）

传感器的输出 vinv_{in} 在 −0.3-0.3 V 到 +0.3+0.3 V 之间，要用 inverting amplifier 放大。三个要求：(1) 电路的输入电阻至少 10 kΩ，免得拖累传感器；(2) 输出始终在 ±10 V 之内（离 Vsat=12V_{sat} = 12 V 留点余量）；(3) 手上最大的电阻是 150 kΩ。增益的绝对值最大能做到多少？选 R1R_1、R2R_2，再求 vin=−0.3v_{in} = -0.3 V 时的 vov_o 和电流 ii。

看解答
  1. 每个要求写成不等式。∣G∣=R2/R1|G| = R_2/R_1，电路的输入电阻就是 R1R_1。(1) 给 R1≥10R_1 \ge 10 kΩ；(3) 给 R2≤150R_2 \le 150 kΩ；(2) 给 0.3 ∣G∣≤100.3\,|G| \le 10，即 ∣G∣≤33.3|G| \le 33.3。
  2. 两个电阻限制合起来：分子最大 150，分母最小 10，所以 ∣G∣=R2/R1≤150/10=15|G| = R_2/R_1 \le 150/10 = 15。
  3. 哪个要求卡住了增益：15<33.315 \lt 33.3，卡住的是 (1)(3)，不是输出范围 (2)。最大 ∣G∣=15|G| = 15：R1=10R_1 = 10 kΩ，R2=150R_2 = 150 kΩ，两个都取到边界。
  4. 检查 (2)：最大输出 15×0.3=4.515 \times 0.3 = 4.5 V，在 ±10 V 之内 ✓。
  5. vin=−0.3v_{in} = -0.3 V（单位 V、kΩ、mA）：− 端是 virtual ground，i=−0.3−010=−0.03i = \frac{-0.3 - 0}{10} = -0.03 mA，负号表示电流其实从 − 端流回传感器。vo=0−iR2=0−(−0.03)(150)=+4.5v_o = 0 - iR_2 = 0 - (-0.03)(150) = +4.5 V。公式核对：−15×(−0.3)=+4.5-15 \times (-0.3) = +4.5 V ✓。输入为负，输出为正。

还想更大怎么办。输出范围本来允许 ∣G∣|G| 到 33.3，是"输入电阻 ≥ 10 kΩ"把 R1R_1 卡在了 10 kΩ。在前面加一个 voltage follower（5·07的电路，5·11讲它的用处）：传感器只接 follower 的 + 端，看到的输入电阻是 ∞\infty，(1) 自动满足，R1R_1 可以变小。取 R1=4.5R_1 = 4.5 kΩ：∣G∣=150/4.5=33.3|G| = 150/4.5 = 33.3，输入 0.3 V 时输出正好是 −10-10 V，到了边界。多用一个 op amp，换来两倍多的增益。

例题

例 3　正弦输入

R1=4R_1 = 4 kΩ，R2=12R_2 = 12 kΩ，vin(t)=0.5sin⁡(2π⋅1000 t)v_{in}(t) = 0.5\sin(2\pi \cdot 1000\,t) V。求 vo(t)v_o(t)。

看解答
  1. 规则在每一时刻都成立。电路里只有电阻，没有会"记住"过去的元件，所以每一时刻都有 vo(t)=−R2R1 vin(t)v_o(t) = -\frac{R_2}{R_1}\,v_{in}(t)。
  2. 代数：R2R1=124=3\frac{R_2}{R_1} = \frac{12}{4} = 3，vo(t)=−3×0.5sin⁡(2π⋅1000 t)=−1.5sin⁡(2π⋅1000 t)v_o(t) = -3 \times 0.5\sin(2\pi \cdot 1000\,t) = -1.5\sin(2\pi \cdot 1000\,t) V。
  3. 检查饱和：峰值 1.5 V <\lt 12 V ✓。

vinv_{in} 到正峰（t=0.25t = 0.25 ms）时，vov_o 正好在负峰 −1.5-1.5 V：波形被放大 3 倍，再上下翻转。

0.5 1 1.5 2 ms −1.5 V −0.5 0.5 1.5 V 0 vo vin
vinv_{in}（峰值 0.5 V）和 vov_o（峰值 1.5 V，方向相反）。
常见错误
  • 符号写错。两个电流必须用同一个方向，每一项都写成"(起点电压 − 终点电压)/电阻"。写成 vo−0R2=vinR1\frac{v_o - 0}{R_2} = \frac{v_{in}}{R_1} 就丢了负号。
  • 忘了检查饱和。例 2 的电路（增益 −15）输入 1 V 时，公式给出 −15 V，超出 −12 V：输出停在 −12 V，公式作废。这个电路最大只能放大 12/15=0.812/15 = 0.8 V 的输入；例 2 的传感器最多 0.3 V，所以没事。
  • 以为输入电阻是 ∞\infty。那是 op amp 本身；整个电路的输入电阻是 R1R_1。
  • 把 + − 对调。那样反馈接到了 + 端，是 positive feedback，不是 noninverting amplifier（5·10）。