5·15

为什么故意用"大而不准"的 A

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5·08的两条规则要求 $A \to \infty$ 。真实的 $A$ 是有限的（例如 $10^5$ ），而且很不准：同一型号的两块芯片可以差好几倍，温度一变也会变。这一节说明为什么这不是问题，反而是 op amp 的设计思路：用 negative feedback 把一个很大但不准的 $A$ ，换成一个小而准的增益。

想法

电阻的比值可以做得很准（1% 甚至更好），而且很稳定。negative feedback 让闭环增益 (closed-loop gain，整个电路的 $v_o/v_{in}$ ) 几乎只由电阻比决定。 $A$ 只要"足够大"就行，具体是多少几乎没有影响。

① 推导：有限 A 的 noninverting amplifier

电路就是5·10的 noninverting amplifier（5·07例 2 用过同一个电路）。

这里 $A$ 有限，所以不用规则 2，改用5·06线性区的模型；规则 1（输入端不取电流）仍然成立。

读图：+ 端直接接 $v_{in}$ ， $v_+ = v_{in}$ 。
− 端：− 端不取电流， $R_2$ 和 $R_1$ 是分压器： $v_- = \frac{R_1}{R_1 + R_2}\,v_o = \beta\,v_o$ 。 $\beta = \frac{R_1}{R_1 + R_2}$ 是输出被送回 − 端的比例，课本叫 feedback factor（记作 $F$ ）。
模型： $v_o = A(v_+ - v_-) = A(v_{in} - \beta v_o)$ 。
解：把 $A\beta v_o$ 移到左边， $v_o(1 + A\beta) = A\,v_{in}$ ，所以

\frac{v_o}{v_{in}} = \frac{A}{1 + A\beta}

当 $A\beta \gg 1$ 时，分母 $1 + A\beta \approx A\beta$ ， $A$ 被约掉：

\frac{v_o}{v_{in}} \approx \frac{A}{A\beta} = \frac{1}{\beta} = 1 + \frac{R_2}{R_1}

这正是5·10用 virtual short 得到的理想结果。误差也能算准：

\frac{A}{1 + A\beta} = \frac{1}{\beta} \cdot \frac{A\beta}{1 + A\beta}

= \frac{1}{\beta}\left(1 - \frac{1}{1 + A\beta}\right)

相对误差

实际增益比理想值 $1/\beta$ 小，相对误差正好是 $\dfrac{1}{1 + A\beta}$ 。 $A\beta$ 是信号绕反馈回路走一圈被放大的倍数（课本 5.5 叫 loop gain，课本的定义带负号），它越大，误差越小。

② 例题

例题

例 1　A 变了 4 倍，增益几乎不变

$R_1 = 1$ kΩ， $R_2 = 9$ kΩ（理想增益 10）。 $A$ 分别是 $5 \times 10^4$ 、 $10^5$ 、 $2 \times 10^5$ 时，增益是多少？

求 $\beta$ ： $\beta = \frac{1}{1 + 9} = 0.1$ ，理想增益 $1/\beta = 10$ 。
$A = 5\times10^4$ ： $A\beta = 5000$ ，增益 $= \frac{5\times10^4}{5001} = 9.9980$ 。
$A = 10^5$ ： $A\beta = 10^4$ ，增益 $= \frac{10^5}{10001} = 9.9990$ 。
$A = 2\times10^5$ ： $A\beta = 2\times10^4$ ，增益 $= \frac{2\times10^5}{20001} = 9.9995$ 。
比较： $A$ 从 $5\times10^4$ 变到 $2\times10^5$ ，变了 4 倍；增益从 9.9980 变到 9.9995，只变了 $0.0015/10 = 0.015\%$ 。

例题

例 2　A 不够大时

同一个电路（ $\beta = 0.1$ ），换一个很差的 op amp： $A = 50$ 和 $A = 500$ 。增益和相对误差各是多少？

看解答

$A = 50$ ： $A\beta = 5$ ，增益 $= \frac{50}{1 + 5} = 8.333$ ；相对误差 $\frac{1}{1 + 5} = 16.7\%$ 。比理想的 10 小了不少。
$A = 500$ ： $A\beta = 50$ ，增益 $= \frac{500}{51} = 9.804$ ；相对误差 $\frac{1}{51} = 1.96\%$ 。
结论：" $A$ 被约掉"要求 $A\beta \gg 1$ 。要误差小于 0.1%，需要 $A\beta$ 大约 1000 以上。

例题

例 3　设计：A 不准也能做出准的增益

要一个增益 20 的 noninverting amplifier。手上 op amp 的 $A$ 可能是 $2\times10^4$ 到 $2\times10^5$ 之间的任何值。选电阻，并求最坏和最好情况的增益。

看解答

按理想值选 $\beta$ ： $1/\beta = 20$ ， $\beta = 1/20$ ，即 $1 + R_2/R_1 = 20$ ， $R_2/R_1 = 19$ 。取 $R_1 = 1$ kΩ， $R_2 = 19$ kΩ。
最坏（ $A = 2\times10^4$ ）： $A\beta = 1000$ ，增益 $= \frac{2\times10^4}{1001} = 19.980$ ，误差 $\frac{1}{1001} \approx 0.1\%$ 。
最好（ $A = 2\times10^5$ ）： $A\beta = 10^4$ ，增益 $= \frac{2\times10^5}{10001} = 19.998$ ，误差约 0.01%。
结论： $A$ 相差 10 倍，增益只在 19.980 到 19.998 之间（相差约 0.09%）。精度主要取决于电阻比 19 做得准不准。

$A$ （ $\beta = 0.1$ ）	$A\beta$	增益	相对误差 $\frac{1}{1+A\beta}$
50	5	8.333	16.7%
500	50	9.804	1.96%
$5\times10^4$	5000	9.9980	0.02%
$10^5$	$10^4$	9.9990	0.01%
$2\times10^5$	$2\times10^4$	9.9995	0.005%

常见错误

把 $\frac{A}{1 + A\beta}$ 套到 inverting amplifier 上。这个式子是 noninverting 结构推出来的：信号直接加在 + 端。inverting amplifier 的信号经 $R_1$ 进 − 端，分子不是 $A$ ，要按它自己的电路重新推（5·16"把 op amp 换成 VCVS"那一节和有限增益那一节）。两者的共同点是分母都含 $1 + A\beta$ ，所以 $A\beta \gg 1$ 时 $A$ 都会被约掉。
把 $\beta$ 当成增益。 $\beta \le 1$ 是送回 − 端的比例；增益约等于 $1/\beta$ 。

① 推导：有限 A 的 noninverting amplifier

② 例题

例 1 A 变了 4 倍，增益几乎不变

例 2 A 不够大时

例 3 设计：A 不准也能做出准的增益

例 1　A 变了 4 倍，增益几乎不变

例 2　A 不够大时

例 3　设计：A 不准也能做出准的增益