YC.
5·19

5.7 补：diode

Book · Davis 5.7Optional
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diode 是本章第一个非线性 (nonlinear) 元件：它的 vv–ii 关系不是直线，不能直接用叠加。

① diode 是什么

P 型半导体（可动的正电荷多，叫 holes）和 N 型半导体（可动的 free electrons 多）接在一起，交界面叫 junction。P 端叫阳极 (anode)，N 端叫阴极 (cathode)，符号里三角形指向阴极。参考方向用 passive sign convention：vDv_D = 阳极电压 − 阴极电压，iDi_D 从阳极流进。

  • forward biased（正偏，vD>0v_D \gt 0）：电荷穿过结，电流大。
  • reverse biased（反偏，vD<0v_D \lt 0）：电荷被拉离结，电流几乎为 0。

② diode 方程

diode 方程 iD=Is[evD/VT−1]i_D = I_s\left[e^{v_D/V_T} - 1\right]

IsI_s 是 reverse saturation current（反向饱和电流，约 10−1410^{-14} A）；VTV_T 是 thermal voltage（热电压，室温约 0.025 V）。

反偏时 evD/VTe^{v_D/V_T} 很快趋于 0，iD→−Isi_D \to -I_s，小到可以当成 0。正偏时电流按指数增长：vD=0.6v_D = 0.6 V 时 iD≈10−14e24≈0.265i_D \approx 10^{-14} e^{24} \approx 0.265 mA，vD=0.7v_D = 0.7 V 时 ≈10−14e28≈14.5\approx 10^{-14} e^{28} \approx 14.5 mA（课本表 5.1）。电压只多 0.1 V，电流乘了 e4≈55e^{4} \approx 55 倍。所以只要 diode 导通、电流在常见的 mA 范围，它的电压几乎总在 0.7 V 附近。

③ 直流工作点：电路直线 × diode 曲线

例题

课本例 5.18：10 V、2 kΩ、一个 diode，求 VDV_D 和 IDI_D

+ − Vs = 10 V Rs = 2 kΩ VD + − ID
课本图 5.102(a)。VDV_D 上 + 下 −，IDI_D 顺时针，从阳极流进 diode。
  1. 外电路给一个方程。单位 mA、kΩ、V。绕一圈 KVL：10=2ID+VD10 = 2 I_D + V_D，即 ID=10−VD2I_D = \frac{10 - V_D}{2} 在 VDV_D–IDI_D 平面上这是一条直线，叫 load line（负载线），两个截距是 Vs=10V_s = 10 V 和 Vs/Rs=5V_s/R_s = 5 mA。
  2. diode 给另一个方程。把 diode 方程反解出电压：VD=VTln⁡(IDIs+1)V_D = V_T \ln\left(\frac{I_D}{I_s} + 1\right)。导通时 ID≫IsI_D \gg I_s，"+1"可以去掉。Is=10−14I_s = 10^{-14} A =10−11= 10^{-11} mA，所以（IDI_D 以 mA 计）VD=0.025ln⁡(ID×1011)V_D = 0.025 \ln\left(I_D \times 10^{11}\right)
  3. 两个方程、两个未知数，但第二个是非线性的，没法直接消元。课本用 iterative（迭代）的办法：猜一个 VDV_D，用直线算 IDI_D，再用 diode 方程算出新的 VDV_D，重复到数字不再变。
  4. 第 1 轮（故意猜得很差）：VD=0V_D = 0 → ID=10/2=5I_D = 10/2 = 5 mA → VD=0.025ln⁡(5×1011)=0.025×26.94=0.6734V_D = 0.025 \ln(5 \times 10^{11}) = 0.025 \times 26.94 = 0.6734 V。
  5. 第 2 轮：ID=(10−0.6734)/2=4.663I_D = (10 - 0.6734)/2 = 4.663 mA → VD=0.025ln⁡(4.663×1011)=0.025×26.868=0.6717V_D = 0.025 \ln(4.663 \times 10^{11}) = 0.025 \times 26.868 = 0.6717 V。
  6. 第 3 轮：ID=(10−0.6717)/2=4.664I_D = (10 - 0.6717)/2 = 4.664 mA → VD=0.6717V_D = 0.6717 V，不再变。答案 VD=0.6717V_D = 0.6717 V，ID=4.664I_D = 4.664 mA。
第几次VDV_DID=(10−VD)/2I_D = (10 - V_D)/2
10（故意猜得很差）5.000 mA
20.6734 V4.663 mA
30.6717 V4.664 mA
40.6717 V4.664 mA（不再变）

同时满足两个方程的这一点叫 Q point（Q = quiescent，静止），也叫 dc operating point。在图上就是直线和曲线的交点：

0.2 0.4 0.6 0.7 0.8 5 mA 10 mA 0 电压 (V) 切线（1/rd） diode iD 负载线 Q
课本图 5.102(b) 的样子：Q 点在 0.672 V、4.66 mA。负载线几乎是平的，因为 10 V 远大于 0.7 V；紫色是 Q 点的切线（后面 ⑤ 的 small signal 模型）。

④ 三个越来越简单的模型

迭代太麻烦。因为导通时电压几乎总在 0.7 V 附近，实际计算常把导通的 diode 换成简单的线性元件：

原件 ≈ 理想：导线 0 V + − 0.7 V 恒压：0.7 V 电池 + − 分段线性 V0 rd + 在左（阳极），− 在右（阴极）；电流从左往右
模型导通时 diode 换成例 5.18 的 IDI_D什么时候用
方程 + 迭代曲线4.664 mA要精确时
恒压 0.7 V0.7 V 电池(10−0.7)/2=4.65(10 - 0.7)/2 = 4.65 mA大多数直流题
理想 diode导线（截止时开路）10/2=510/2 = 5 mA电源电压 ≫ 0.7 V；

用简化模型时，事先不知道 diode 是导通还是截止，就先假设，再检查：

假设—检查（理想和 0.7 V 模型）
  1. 假设每个 diode 导通或截止。
  2. 导通 → 换成导线（或 0.7 V 电池）；截止 → 换成开路。解这个线性电路。
  3. 检查：导通的 diode，电流必须沿箭头方向为正；截止的 diode，两端电压必须 <0\lt 0（0.7 V 模型：<0.7\lt 0.7 V）。
  4. 有一个不满足，就换一个假设重来。

例：例 5.18 用 0.7 V 模型。假设导通，diode 换成 0.7 V 电池：ID=(10−0.7)/2=4.65I_D = (10 - 0.7)/2 = 4.65 mA >0\gt 0，电流沿箭头方向为正，假设成立 ✓。如果把 diode 反过来接，假设截止（开路）：没有电流，2 kΩ 上不降压，diode 两端 VD=−10V_D = -10 V <0.7\lt 0.7 V，假设也成立 ✓。

详细讲解见：diode 方向练习

⑤ small signal：在 Q 点附近用切线

如果电源是"直流 + 很小的交流"，operating point 只在 Q 点附近来回小幅移动。在这么小的范围里，曲线和它在 Q 点的切线几乎重合，可以用切线代替曲线。切线方程是 iD=(vD−V0)/rdi_D = (v_D - V_0)/r_d，对应的电路是电池 V0V_0 串一个小电阻 rdr_d，叫 piecewise linear model（也叫 quasilinear model）。切线斜率就是 diode 方程在 Q 点的导数：

1rd=diDdvD∣Q=IsVT eVD/VT≈IDVTrd=VTID\begin{aligned} \frac{1}{r_d} &= \frac{di_D}{dv_D}\bigg|_Q = \frac{I_s}{V_T}\, e^{V_D/V_T} \approx \frac{I_D}{V_T} \\ r_d &= \frac{V_T}{I_D} \end{aligned}

约等号成立是因为导通时 eVD/VT≫1e^{V_D/V_T} \gg 1，所以 IseVD/VT≈Is[eVD/VT−1]=IDI_s e^{V_D/V_T} \approx I_s[e^{V_D/V_T} - 1] = I_D。ID=1I_D = 1 mA 时 rd=25 Ωr_d = 25\ \Omega；例 5.18 的 Q 点 rd=0.025 V/4.664 mA=5.36 Ωr_d = 0.025\ \text{V}/4.664\ \text{mA} = 5.36\ \Omega。

记号：大写量 + 大写下标是直流（VSV_S）；小写 + 小写下标是交流，平均值为 0（vsv_s）；小写 + 大写下标是总量（vS=VS+vsv_S = V_S + v_s）。

small signal 分析步骤
  1. 交流源置零，diode 用 0.7 V 模型，求直流 IDI_D。
  2. rd=VT/IDr_d = V_T / I_D。
  3. 直流源置零（电压源 → 短路，电流源 → 开路；diode 模型里的 0.7 V 电池也短路），diode 换成 rdr_d，求交流量。这个电路叫 ac small signal equivalent circuit。
  4. 总量 = 直流 + 交流（叠加）。
例题

课本例 5.19：求 vD(t)v_D(t)

+ − 10.7 V 10 kΩ 20 sin(ωt) μA + − vD
课本图 5.109：10.7 V 经 10 kΩ 接到上面的节点；节点和底线之间并着一个向上的 20sin⁡(ωt) μA20\sin(\omega t)\ \mu\text{A} 电流源和一个 diode（阳极在上）。
  1. 直流：交流电流源置零 = 开路。diode 换成 0.7 V：ID=10.7−0.710 kΩ=1I_D = \frac{10.7 - 0.7}{10\ \text{kΩ}} = 1 mA。
  2. rdr_d：rd=25 mV1 mA=25 Ωr_d = \frac{25\ \text{mV}}{1\ \text{mA}} = 25\ \Omega。
  3. 交流电路：10.7 V 置零 = 短路，所以 10 kΩ 变成从上面节点直接接到底线；diode 换成 25 Ω。20 μA 的交流电流流进 10 kΩ ∥ 25 Ω：10000×2510000+25=24.94 Ω\frac{10000 \times 25}{10000 + 25} = 24.94\ \Omega。
  4. 交流电压：vd=24.94 Ω×20sin⁡(ωt) μA=499sin⁡(ωt) μV≈0.50sin⁡(ωt)v_d = 24.94\ \Omega \times 20 \sin(\omega t)\ \mu\text{A} = 499 \sin(\omega t)\ \mu\text{V} \approx 0.50 \sin(\omega t) mV。
  5. 叠加：直流部分 0.7 V = 700 mV：vD(t)=700+0.50sin⁡(ωt) mVv_D(t) = 700 + 0.50 \sin(\omega t)\ \text{mV}

交流部分比直流小约 1400 倍，small signal 近似完全没问题。