5.7 补：BJT transistor

BJT（bipolar junction transistor）是放大器里最基本的器件。课本 5.7 对它的要求只有一件事：把 transistor 符号拔掉，换成一个含 dependent source 的模型，剩下的就是本章前面会算的 dependent source 电路。顺序：三个端子和 active mode → 两个模型 → 共基、共射两种放大器 → 理想 transistor。

① 三个端子和 active mode

放大时 transistor 工作在 active mode：发射结 forward biased，集电结 reverse biased。这时从 E 进入的电子大部分穿过很薄的基区到达 C，这部分的比例记作 $\alpha$（约 0.99）：

$$i_C = \alpha\, i_E, \qquad i_B = i_E - i_C = (1-\alpha)\, i_E$$

集电极电流和基极电流之比叫 $\beta$：$\beta = \frac{i_C}{i_B} = \frac{\alpha}{1-\alpha}$。$\alpha = 0.99$ 时 $\beta = 0.99/0.01 = 99$：基极一点点电流，对应约 100 倍的集电极电流。

② 两个模型（课本图 5.114）

两个 diode 按 5·19 的办法换掉，再加一个 CCCS 表示"到达集电极的那部分电流"：

• 直流偏置模型（dc bias model）：发射结导通 → 0.7 V 电池；集电结反偏 → 开路；C 和内部节点之间一个 CCCS $\alpha I_E$。用来求直流电流 $I_E$。
• small signal 模型：发射结 → 它在 Q 点的 small signal 电阻 $r_e = V_T / I_E$（就是 diode 的 $r_d = V_T/I_D$，电流换成 $I_E$；$I_E = 1$ mA 时 25 Ω）；其余不变。用来求交流信号的放大倍数。

③ 共基放大器（课本例 5.20）

common base（共基）指基极接地，输入、输出都以基极为参考：信号 $v_e$ 加在 E，输出 $v_c$ 从 C 取，C 经负载 $R_c$ 接地。把 transistor 换成 small signal 模型（B 接地，所以模型的内部节点就是地）：

1. 控制量。$r_e$ 一端是 B（0 V），一端是 E（$v_e$）。$i_e$ 从 B 端流向 E 端，所以 $i_e = \frac{0 - v_e}{r_e} = -\frac{v_e}{r_e}$。
2. C 节点的 KCL。CCCS 把电流 $\alpha i_e$ 从 C 节点拿走，这个电流只能由 $R_c$ 供给。$R_c$ 上从地流向 C 的电流是 $\frac{0 - v_c}{R_c}$，所以 $-\frac{v_c}{R_c} = \alpha i_e$，即 $v_c = -\alpha R_c\, i_e$。
3. 代入控制量。$v_c = -\alpha R_c \cdot \left(-\frac{v_e}{r_e}\right) = \frac{\alpha R_c}{r_e}\, v_e$。
4. 输入电阻（从信号源看进去）：信号源送进 E 端的电流是 $-i_e = v_e/r_e$，所以 $r_{in} = r_e$。

$$A_v = \frac{v_c}{v_e} = \frac{\alpha R_c}{r_e}, \qquad r_{in} = r_e$$

数字：$I_E = 1$ mA → $r_e = 25\ \Omega$；$R_c = 5$ kΩ、$\alpha = 0.99$：$A_v = 0.99 \times 5000/25 = 198$。电压放大了约 200 倍，但输入电阻只有 25 Ω，电流增益 $\alpha \lt 1$。transistor 这个名字就来自这里：信号在小电阻 $r_e$ 里产生的电流，被"搬"到大电阻 $R_c$ 上（transferring current through a resistor）。

④ 共射放大器与 hybrid-π（课本例 5.21）

common emitter（共射）指发射极接地，信号从 B 进、从 C 出。这时要知道从 B 看进去的电阻。B–E 之间：基极电流 $i_b$ 流进 B；发射极电流 $i_e = i_b + i_c = i_b + \beta i_b = (\beta + 1)\, i_b$ 流过 $r_e$；所以 $v_{be} = r_e(\beta+1)\, i_b$。从 B 看进去就是一个电阻：

$$r_\pi = \frac{v_{be}}{i_b} = (\beta + 1)\, r_e$$

把模型画成 B–E 之间一个 $r_\pi$、C–E 之间一个 CCCS $\beta i_b$，叫 hybrid-π 模型：

⑤ 理想 transistor（β → ∞）

把 CCCS 的控制量换成 $v_{be}$：$\beta i_b = \beta\frac{v_{be}}{(\beta+1)\, r_e} = \frac{\alpha}{r_e}\, v_{be} = g_m v_{be}$。$g_m = \alpha / r_e$ 叫 transconductance，单位 S（1 mA 时 $0.99/25\ \Omega = 39.6$ mS）。CCCS 就变成了 VCCS。令 $\beta \to \infty$：$\alpha \to 1$，$g_m = 1/r_e$（40 mS）；$r_\pi = (\beta+1)\, r_e \to \infty$，B 端开路、不取电流。这就是 ideal transistor model：

⑥ PNP 和增益关系

PNP：N、P 对调，直流电压和电流全部反号；small signal 模型完全不变（受控量和控制量一起反号，从外面看不出区别）。

增益（课本图 5.124）：放大器输入端电压 $v_{in}$、流进电流 $i_{in}$；输出接负载 $R_L$，输出电压 $v_{out}$，负载电流 $i_{out}$ 取从输出端流进 $R_L$ 的方向，所以 $v_{out} = R_L\, i_{out}$。定义 $A_v = \frac{v_{out}}{v_{in}}$、$A_i = \frac{i_{out}}{i_{in}}$、$r_{in} = \frac{v_{in}}{i_{in}}$。由欧姆定律 $v_{out} = R_L i_{out} = R_L A_i\, i_{in} = A_i \frac{R_L}{r_{in}}\, v_{in}$，所以

$$\begin{aligned} A_v &= A_i\,\frac{R_L}{r_{in}} \\ A_p &= \frac{P_{out}}{P_{in}} = \frac{v_{out}\, i_{out}}{v_{in}\, i_{in}} = A_v A_i = A_i^2\,\frac{R_L}{r_{in}} \end{aligned}$$

注意记号：这里的 $A_v$ 是整个放大电路的电压增益；