5·01

active circuit：amplifier 为什么能放大功率

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这一节回答一个问题：电路里为什么需要 dependent source？因为只用电阻和电源，负载拿到的功率永远不会超过信号源给出的功率；加了 dependent source，才能做出把弱信号变成强信号的 amplifier。整个第 5 章（包括 op amp）都从这里出发。

① 只有电阻时，功率不会变大

纯电阻电路的功率上限

一个信号源接一个只由电阻组成的网络。网络里任何一个电阻（比如负载）拿到的功率，都不会超过信号源给出的功率。

原因是能量守恒。电阻只吸收功率（ $p = i^2R \ge 0$ ），从不放出功率。整个电路里只有信号源在放出功率，所以所有电阻吸收的功率加起来正好等于信号源给出的功率。负载只是其中一个电阻，只能分到这个总数的一部分。

可是很多时候需要负载拿到更多功率。例如麦克风的信号很弱，直接接喇叭几乎听不见。这时在中间加一个 amplifier：它看着输入端的电压，在输出端按比例造出一个强得多的信号。造信号用的能量来自 amplifier 自己的直流电源（插座或电池），不是来自麦克风。能做到"负载功率大于输入功率"的电路叫 active circuit。

amplifier 是夹在信号源和负载中间的一个盒子：左边一对输入端，右边一对输出端。直流电源在电路图上常常省略。

② 怎么画 amplifier：dependent source

dependent source

dependent source 是一个电压源或电流源，但它的值不是固定的数，而是等于电路里另一处的某个电压或电流乘一个常数。画成菱形：菱形里画 + − 的是电压源，画箭头的是电流源。

例 1 用的是 voltage-controlled current source (VCCS)：输出电流 $g_m v_1$ ，由别处两点之间的电压 $v_1$ 控制。常数 $g_m$ 叫 transconductance，单位 S（= A/V），意思是" $v_1$ 每 1 V 换多少 A 电流"。例 2 用的是 voltage-controlled voltage source (VCVS)：输出电压 $\mu v_1$ ， $\mu$ 没有单位。

做题时要用到 dependent source 的两个性质。第一，它只读控制电压 $v_1$ ，不从被读的两点拿电流（菱形和那两点之间没有导线）。第二，它的输出是一个真正的电源：VCCS 不管接什么都输出 $g_m v_1$ 这么大的电流，VCVS 不管接什么都维持 $\mu v_1$ 这么大的电压；需要的能量来自图上没画的直流电源。

③ 例题

板书重画。信号源用

v_{in}

串内阻

R_s

表示（真实的信号源都有内阻）。盒子里，

R_1

接在两个输入端之间，它两端的电压叫

v_1

（上 + 下 −）；菱形里是箭头，是 VCCS，电流

g_m v_1

从上端流出。负载

R_L

两端的电压叫

v_{out}

（上 + 下 −），电流

i

的参考方向见橙色箭头。

例题

例 1　板书的 amplifier

$v_{in} = 1$ V， $R_s = 1\ \Omega$ ， $R_1 = 1\ \Omega$ ， $g_m = 1$ S， $R_L = 100\ \Omega$ 。求 $v_{out}$ 、盒子从信号源吃进的功率 $P_{in}$ 、负载拿到的功率 $P_{out}$ 。

读图：左边是一个单回路。菱形只读 $v_1$ ，不从左边拿电流，所以 $v_{in}$ 、 $R_s$ 、 $R_1$ 串成一个回路， $R_s$ 和 $R_1$ 流同一个电流。
分压求 $v_1$ 。串联电阻按阻值分电压： $v_1 = \frac{R_1}{R_1 + R_s}\,v_{in} = \frac{1}{1 + 1} \times 1 = 0.5$ V。板书左下角的两个小图就是这个分压。
菱形给出电流。 $i = g_m v_1 = 1 \times 0.5 = 0.5$ A。它从菱形上端流出，沿上面的导线到 $R_L$ ，从上往下穿过 $R_L$ ，再经地线回到菱形。
欧姆定律求 $v_{out}$ 。电流从 $R_L$ 标 + 的一端流进，所以 $v_{out} = iR_L = 0.5 \times 100 = 50$ V。输入 1 V，输出 50 V。
盒子吃进的功率。信号源交进盒子的功率全部被 $R_1$ 吸收： $P_{in} = \frac{v_1^2}{R_1} = \frac{0.5^2}{1} = 0.25$ W。
负载拿到的功率。 $P_{out} = i^2 R_L = 0.5^2 \times 100 = 25$ W。
比较。 $P_{out}/P_{in} = 25/0.25 = 100$ 。负载的 25 W 全部由菱形放出（菱形两端的电压就是 $v_{out}$ ，放出 $50 \times 0.5 = 25$ W），能量来自图上没画的直流电源，不是来自信号源。

为什么 $P_{in}$ 只算 $R_1$ ，不算 $R_s$ ？站在信号源的位置往盒子的输入端看：两根线之间只有 $R_1$ ，菱形不取电流，从这边看不见它。所以盒子对信号源来说就是一个电阻 $R_1$ ，这个电阻叫 amplifier 的输入电阻 (input resistance)。 $R_s$ 上也耗了 $0.5^2/1 = 0.25$ W，但 $R_s$ 在信号源内部，是信号源自己浪费的，没有进盒子。

从信号源往右看，盒子的两个输入端之间只有

R_1

。

把例 1 的步骤用字母再做一遍，得到这个 amplifier 的两个通式：

v_{out} = g_m R_L\, v_1 = \frac{R_1}{R_1 + R_s}\, g_m R_L\, v_{in}

\frac{P_{out}}{P_{in}} = \frac{(g_m v_1)^2 R_L}{v_1^2 / R_1} = g_m^2 R_1 R_L

第二式里 $v_1^2$ 约掉了，所以 power gain（功率增益）只由元件值决定。例 1： $1^2 \times 1 \times 100 = 100$ ，和上面一致。

例 2 的电路：菱形里是 + −，是 VCVS，电压

10\,v_1

（+ 在上），直接接在

R_L

两端。

例题

例 2　用 VCVS 做的 amplifier（录播里的版本）

$v_s = 2$ V， $R_s = 1$ kΩ，输入电阻 $R_{in} = 3$ kΩ， $\mu = 10$ ， $R_L = 1$ kΩ。求 $v_{out}$ 、 $P_{in}$ 、 $P_{out}$ ，再和"不用 amplifier，信号源直接接 $R_L$ "比一比。

看解答

读图。和例 1 一样，菱形只读 $v_1$ ，左边是 $v_s$ 、 $R_s$ 、 $R_{in}$ 串成的单回路。
分压求 $v_1$ ： $v_1 = \frac{3}{3 + 1} \times 2 = 1.5$ V。
菱形给出电压：VCVS 直接接在 $R_L$ 两端，所以 $v_{out} = \mu v_1 = 10 \times 1.5 = 15$ V。
功率： $P_{in} = \frac{v_1^2}{R_{in}} = \frac{1.5^2}{3000} = 0.75$ mW。负载电流 15 V ÷ 1 kΩ = 15 mA， $P_{out} = \frac{v_{out}^2}{R_L} = \frac{15^2}{1000} = 225$ mW。power gain $= 225/0.75 = 300$ 。
用通式核对： $\frac{P_{out}}{P_{in}} = \frac{(\mu v_1)^2/R_L}{v_1^2/R_{in}} = \mu^2\,\frac{R_{in}}{R_L} = 100 \times 3 = 300$ ✓。录播把这个式子写成 $A^2 \frac{R_{in}}{R_L}$ ， $A$ 就是这里的 $\mu$ 。
不用 amplifier：2 V 源经 1 kΩ 内阻直接接 1 kΩ 负载，分压得 1 V，负载功率 $1^2/1000 = 1$ mW。加了 amplifier 以后是 225 mW。

倍数可以随便大吗

power gain $g_m^2 R_1 R_L$ 或 $\mu^2 R_{in}/R_L$ 随元件值变，所以 100、300 这两个数本身不重要。重要的是它们能大于 1：纯电阻电路选什么阻值都做不到（①）。现实中倍数也有上限：输出电压不能超过直流电源的电压，这叫饱和（5·06）。

变压器不算 amplifier

变压器能把电压变大，但电流同时按同样的比例变小，功率不会增加（理想时不变）。它没有额外的电源，所以不是有源元件。

① 只有电阻时，功率不会变大

② 怎么画 amplifier：dependent source

③ 例题

例 1 板书的 amplifier

例 2 用 VCVS 做的 amplifier（录播里的版本）

例 1　板书的 amplifier

例 2　用 VCVS 做的 amplifier（录播里的版本）