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5·13

nullator 和 norator 是什么

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① 每个元件都是一条"规定"

先换个角度看普通元件。一个两端元件只做一件事：规定它两端的电压 vv 和流过的电流 ii 之间是什么关系。电阻规定 v=Riv = Ri；导线规定 v=0v = 0，电流随便；开路规定 i=0i = 0，电压随便。每个普通元件正好给电路 1 条方程，画在 vv-ii 平面上就是一条线。

v i 电阻 v = Ri 1 条方程 v i 导线 v = 0，i 随便 1 条方程 v i 开路 i = 0，v 随便 1 条方程
普通元件：一条线，1 条方程。
v i nullator v = 0 且 i = 0 2 条方程 v i norator v、i 都随便 0 条方程
nullor 的两半：一个点（2 条），整个平面（0 条）。

nullator 和 norator 是课本为理想 op amp 造的两个假想元件，商店里买不到：

  • nullator：同时规定 v=0v = 0 和 i=0i = 0。2 条方程，只剩原点一个点。
  • norator：什么都不规定，vv 和 ii 都由外电路决定。0 条方程，整个平面都行。

单独拿出来，哪个都不像真实元件。但一对加起来是 2 + 0 = 2 条方程，和两个普通元件一样多。这一对叫 nullor，就是理想 op amp：nullator 接在两个输入端之间，norator 从输出端接到地。

− + ⇒ − + 零子 nullator v = 0 且 i = 0 vo 任意子 norator v、i 都由外电路定
op amp 换成 nullor：输入端之间放 nullator，输出端到地放 norator。

② 一个比喻：电压表 + 旋钮

op amp = 盯着电压表拧旋钮的人

把 norator 想成一个电压还没定的电压源，上面有个旋钮。把 nullator 想成一个理想电压表（不吃电流），而且要求它的读数是 0。op amp 就是那个一直盯着电压表、拧旋钮，直到读数变成 0 的人。

  • 比较 = 看电压表。nullator 的位置告诉你拧到什么时候停：v+=v−v_+ = v_-。
  • 放大 = 拧旋钮。norator 的位置告诉你拧的是哪个电压：vov_o。外面要多少电流，也由这个源出。

旋钮最后停在几伏，要看外面的电阻怎么接，所以 vov_o 是要解的未知数。

③ 为什么不能换成开路和导线

拿最简单的 voltage follower（5·11）带一个 1 kΩ 负载来试。正确答案是 vo=3v_o = 3 V：信号源一点电流都不出，负载的 3 mA 全由 op amp 输出给（下一节例 1）。

+ − 3 V 开路 导线 （原 norator） （原 nullator） 1 kΩ vo = 0 V
nullator 换成开路、norator 换成导线：导线把输出钉在 0 V，负载上 0 V。
+ − 3 V 导线（原 nullator） 开路 （原 norator） 3 mA 1 kΩ vo = 3 V
反过来换：vo=3v_o = 3 V 碰巧对了，但负载的 3 mA 只能由信号源经导线出。
  • 开路只规定 i=0i = 0，两端电压可以不一样，所以丢掉了 v+=v−v_+ = v_-。"两端没有电压差"是导线的性质，不是开路的。
  • 导线规定 v=0v = 0。放在输出端，就把输出钉死在 0 V；可 op amp 的输出明明可以是任何电压。放在输入端，输入端之间就能过电流，信号源被拖累。

开路加导线也是 2 条方程，数量对，位置错。它说的是"输入随便，输出 = 0 V"，和 op amp 正好相反：op amp 是输入被逼成相等，输出随便。nullor 把 2 条方程都放在输入端，把自由留给输出端。课本图 5.84（下一节例 4）用这两种换法分别得 vo=0v_o = 0 V 和 vo≈4.63v_o \approx 4.63 V，正确答案是 6 V。

④ 和真实 op amp 的关系：A → ∞

比较和放大去哪了：A → ∞ 的极限

op amp 的模型（5·06）是一个接地的 VCVS（课本把增益写成 μ\mu，这里写 AA）：输入端不进电流，输出 vo=A(v+−v−)v_o = A(v_+ - v_-)。它做两件事：

  1. 比较：量出两个输入的差 vd=v+−v−v_d = v_+ - v_-，而且不从输入端拿电流。
  2. 放大：输出端是一个电压源，电压 AvdA v_d；外面要多少电流，它就给多少。

把方程两边除以 AA：vd=vo/Av_d = v_o / A。有 negative feedback 时 vov_o 是有限的几伏，所以 A→∞A \to \infty 时：

有限 AA → ∞画成
输入端（比较）vd=vo/Av_d = v_o/A，很小；i=0i = 0vd=0v_d = 0，i=0i = 0nullator
输出端（放大）vo=A vdv_o = A\, v_dvo=∞×0v_o = \infty \times 0，AA 定不了 vov_o，电流也由外电路定norator

所以"比较"没有消失，它的结果就是 v+=v−v_+ = v_- 这条方程。"放大"也没有消失，输出变成一个未知数 vov_o，由外面的电阻定。nullor 只是把方程 vo=A(v+−v−)v_o = A(v_+ - v_-) 换成了 v+=v−v_+ = v_-：方程数不变，但不再需要知道 AA 是多少（课本式 5.6-1、5.6-5）。

只在 negative feedback 下成立

这个极限要求电路真的会稳定在一个工作点上，也就是 negative feedback。positive feedback 时代数照样能解出一个数，但真实电路会一路冲到饱和（stability 判据见课本 5.5）。下一节例 4 的图 5.84，课本算过 F+=1/3<F−=2/3F_+ = 1/3 \lt F_- = 2/3，negative feedback 占上风，稳定，可以放心换成 nullor。