5·22

op amp 公式卡与练习册

Reference

这一页讲过的规则和公式，按出现顺序列在一起。括号里是讲它的那一节，推导和例题都在那里。

内容	规则 / 结果
op amp 模型	线性区 $v_o = A(v_+ - v_-)$ ， $A$ 极大； $i_+ = i_- = 0$ ；输出限在 $\pm V_{sat}$ ，超出就饱和（5·06）
两条规则	规则 1： $i_+ = i_- = 0$ 。规则 2：有 negative feedback 且不饱和时 $v_+ = v_-$ （5·08）
做题步骤	确认 negative feedback → 读图求 $v_+$ → $v_- = v_+$ → − 端 KCL（不对输出节点写）→ 检查饱和（5·08）

电路	结果	输入电阻
inverting amplifier（5·09）	$v_o = -\frac{R_2}{R_1}v_{in}$	$R_1$
noninverting amplifier（5·10）	$v_o = \left(1 + \frac{R_2}{R_1}\right)v_{in}$	$\infty$
voltage follower（5·11）	$v_o = v_{in}$	$\infty$
summing amplifier（5·12）	$v_o = -R_f\sum_k \frac{v_k}{R_k}$	每路 $R_k$
level shifting（5·12）	$v_o = -\frac{R_f}{R_1}v_1 + \left(1 + \frac{R_f}{R_1}\right)v_{ref}$	$R_1$
有限 A 的 noninverting（5·15）	$\frac{v_o}{v_{in}} = \frac{A}{1 + A\beta}$ ， $\beta = \frac{R_1}{R_1 + R_2}$ ；相对误差 $\frac{1}{1 + A\beta}$	$\infty$

练习

都用理想 op amp， $V_{sat} = 12$ V。先自己做，再看解答。

练习 1　输入范围不对称时选 R₁

inverting amplifier， $R_2 = 30$ kΩ 已经焊好。输入 $v_{in}$ 在 $-0.8$ V 到 $+0.5$ V 之间变化，要求输出始终在 ±10 V 之内。 $R_1$ 最小可以取多少（增益尽量大）？这时输出在什么范围？

提示

增益是负的：输入最负时输出最正。两端里哪一端的 $|v_{in}|$ 更大？

$|G| = 30/R_1$ 。输出绝对值最大的时候是 $|v_{in}|$ 最大的那一端，即 $-0.8$ V： $0.8\,|G| \le 10$ ， $|G| \le 12.5$ ，所以 $R_1 \ge 30/12.5 = 2.4$ kΩ。取 $R_1 = 2.4$ kΩ： $v_{in} = -0.8$ V 时 $v_o = -12.5 \times (-0.8) = +10$ V； $v_{in} = +0.5$ V 时 $v_o = -6.25$ V。输出范围是 $-6.25$ V 到 $+10$ V。

容易错的地方：只看 $+0.5$ V 那一端，会得到 $|G| \le 20$ 、 $R_1 = 1.5$ kΩ；那样 $-0.8$ V 时公式给出 $+16$ V，输出饱和在 $+12$ V。

练习 2　+ 端接分压器的 noninverting amplifier

9 V 经上 2 kΩ、下 1 kΩ 分压，中点接到 op amp 的 + 端。− 端经 $R_1 = 1$ kΩ 接地，输出经 $R_2 = 2$ kΩ 接回 − 端。求 $v_+$ 和 $v_o$ 。

提示

先读图求 $v_+$ ：+ 端不取电流，分压器是空载的。

规则 1：+ 端不取电流， $v_+ = 9 \times \frac{1}{2 + 1} = 3$ V。规则 2： $v_- = 3$ V。− 端 KCL： $\frac{3}{1} = \frac{v_o - 3}{2}$ ，所以 $v_o = 9$ V（公式 $1 + 2/1 = 3$ ， $3 \times 3 = 9$ V ✓），在 ±12 V 之内。

练习 3　设计 summing amplifier

要 $v_o = -(3v_1 + v_2)$ ，取 $R_f = 6$ kΩ。选 $R_a$ 、 $R_b$ ，再求 $v_1 = 0.5$ V、 $v_2 = 1$ V 时的 $v_o$ 。

提示

每一路的权重是 $R_f/R_k$ 。

$R_f/R_a = 3$ ， $R_a = 2$ kΩ； $R_f/R_b = 1$ ， $R_b = 6$ kΩ。电流 $i_a = 0.5/2 = 0.25$ mA， $i_b = 1/6 \approx 0.167$ mA， $i_f = 0.417$ mA， $v_o = -0.417 \times 6 = -2.5$ V。核对： $-(3 \times 0.5 + 1) = -2.5$ V ✓。

练习 4　level shifting

$R_1 = 2$ kΩ， $R_f = 4$ kΩ， $v_{ref} = 2$ V（+ 端经 $v_{ref}$ 接地）， $v_1 = 1$ V。求 $v_o$ ，并用 − 端 KCL 核对。

提示

− 端电压是 $v_{ref}$ ，不是 0。

公式： $v_o = -\frac{4}{2}\times 1 + \left(1 + \frac{4}{2}\right)\times 2 = -2 + 6 = 4$ V。KCL 核对： $v_- = 2$ V， $R_1$ 上 $\frac{1 - 2}{2} = -0.5$ mA， $R_f$ 上 $\frac{2 - 4}{4} = -0.5$ mA，相等 ✓。

练习 5　哪些能用 v₊ = v₋

(a) noninverting amplifier， $R_2$ 从输出接到 − 端。(b) 同样的电阻，但 $R_2$ 从输出接到 + 端，信号接 − 端。(c) 开环，+ 端接 1 mV，− 端接地。(d) 增益 $-10$ 的 inverting amplifier，输入 2 V。哪些可以用规则 2？

提示

规则 2 要两个条件：negative feedback，而且输出不饱和。

只有 (a)。(b) 是 positive feedback；(c) 没有 feedback， $A v_d$ 远超 12 V，输出饱和在 +12 V；(d) 公式给出 $-20$ V，超出 −12 V，输出饱和在 −12 V， $v_-$ 不再是 0。

更多练习

op amp 练习册（12 道原创题，带提示和解答）：打开练习册。dependent source 和 op amp 的零基础图解版：第 5 章图解。