5·03

dependent source 电路可能无解或有无穷多解：non-existence 与 non-uniqueness

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第 4 章的结论是：只含电阻和 independent source 的电路，只要接法合法，节点方程（或网孔方程）就一定有唯一解。"接法合法"指两条：没有一个全部由电压源组成的回路（否则这些电压源的值必须恰好满足 KVL）；也没有一组全部由电流源组成、把它们换成开路后电路就断成两块的支路（课本叫 cut set of current sources，否则 KCL 被这些电流源单独定死）。加了 dependent source 以后，接法完全合法的电路，在某些参数值下也会无解或有无穷多个解。这一节讲怎样找出这些参数值（考试常问" $\mu$ 取什么值时无解"），以及它在实际电路里意味着什么。课上第 10 讲最后一个例子讲的也是这件事，放在例 2。

例题

例 1　课本图 5.13：一个回路里的 VCVS

课本图 5.13：8 V 电压源（+ 在上）、4 Ω（它上面的电压叫

v_x

，左 + 右 −）、一个 VCVS

\mu v_x

。注意 VCVS 的 + 在下面。

求 $v_x$ 。 $\mu$ 取什么值时无解？

贴胶带。先把菱形当成一个值未知的电压源，电压叫 $v_c$ ，正负号照图上标的：+ 在下，− 在上。
KVL。从左下角出发，顺时针绕一圈（图中"走"的方向），记下每个元件上电位的变化：经过 8 V 源从 − 到 +，升高 8；经过 4 Ω 从 + 到 −，降低 $v_x$ ；经过菱形从上面的 − 到下面的 +，升高 $v_c$ 。回到出发点电位不变，所以这些变化加起来为 0： $8 - v_x + v_c = 0$ 移项得 $v_x = 8 + v_c$ 。
撕胶带。菱形的电压由标签决定： $v_c = \mu v_x$ 。代进上式： $v_x = 8 + \mu v_x$ 。
整理成"系数 × 未知数 = 常数"。把含 $v_x$ 的项移到左边： $(1 - \mu)\, v_x = 8$
解。 $\mu \ne 1$ 时两边除以 $1-\mu$ ： $v_x = \dfrac{8}{1-\mu}$ 。例如 $\mu = 0.5$ ： $v_x = 8/0.5 = 16$ V； $\mu = 3$ ： $v_x = 8/(-2) = -4$ V。
奇异值。 $\mu = 1$ 时系数为 0，方程变成 $0 \cdot v_x = 8$ 。不管 $v_x$ 取多少，左边都是 0，不可能等于 8，所以无解。
核对。 $\mu = 0.5$ ： $v_c = 0.5 \times 16 = 8$ V，KVL： $8 - 16 + 8 = 0$ ✓。 $\mu = 3$ ： $v_c = 3 \times (-4) = -12$ V，KVL： $8 - (-4) + (-12) = 0$ ✓。

为什么 $\mu = 1$ 会无解。从 8 V 源看过去，4 Ω 和菱形串成一串。这一串两端的电压是 $v_x - v_c = (1-\mu)\,v_x$ （4 Ω 上是 $v_x$ ；再经过菱形从 − 端到 + 端，要减去 $v_c$ ），流过它的电流是 4 Ω 上的 $v_x/4$ 。电压除以电流，这一串等效于一个 $(1-\mu)\times 4\ \Omega$ 的电阻。 $\mu = 1$ 时它是 0 Ω，相当于一根导线直接接在 8 V 源两端：导线要求两端电压为 0，电压源要求 8 V，违反 KVL（课本图 5.14）。

例题

例 2　课上例题（第 10 讲）： $(\mu - 1)V_x = V_1$

第 10 讲最后一个例子是一个含 VCVS（倍数 $\mu$ ）、由独立电压源 $V_1$ 驱动的电路。录播里的电路图这里没有截图，下面从课上整理出的方程开始。按例 1 的步骤（贴胶带、KVL、撕胶带、移项）得到：

(\mu - 1)\, V_x = V_1

它和例 1 的方程是同一种：系数里含 $\mu$ ，常数是独立源的值。分情况讨论它的解。

$\mu \ne 1$ 。两边除以 $\mu - 1$ ，得到唯一解 $V_x = \dfrac{V_1}{\mu - 1}$ 。
$\mu$ 靠近 1。分母趋于 0， $|V_x|$ 越来越大。取 $V_1 = 2$ V： $\mu = 3$ 时 $V_x = 2/2 = 1$ V； $\mu = 1.1$ 时 $2/0.1 = 20$ V； $\mu = 1.01$ 时 $2/0.01 = 200$ V；从另一侧， $\mu = 0.9$ 时 $2/(-0.1) = -20$ V。 $\mu$ 从两侧逼近 1 时，解分别趋于 $+\infty$ 和 $-\infty$ 。
$\mu = 1$ 、 $V_1 \ne 0$ 。方程变成 $0 \cdot V_x = V_1$ 。左边对任何 $V_x$ 都是 0，右边不是 0：无解（nonexistence）。注意结论不是" $V_x = \infty$ "： $\infty$ 不是一个电压值，正确的说法是这个模型在这里给不出答案。
$\mu = 1$ 、 $V_1 = 0$ 。方程变成 $0 \cdot V_x = 0$ ，任何 $V_x$ 都满足：无穷多解（nonuniqueness）。

情况	方程	结果
系数 $\ne 0$	$V_x = V_1/(\mu - 1)$	唯一解
系数 → 0		解的大小 → ∞
系数 = 0，常数 $\ne 0$	$0 \cdot V_x = V_1$	无解
系数 = 0，常数 = 0	$0 \cdot V_x = 0$	无穷多解

不止一个未知数：看行列式

奇异情况 (singular case)

贴胶带、列方程、撕胶带以后，任何线性电路的方程都能写成 $\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}$ ： $\mathbf{x}$ 是未知的节点电压（或网孔电流）； $\mathbf{b}$ 由 independent source 决定； $\mathbf{A}$ 由电阻值和 dependent source 的参数（ $\mu, r_m, g_m, \beta$ ）决定。

$\det \mathbf{A} \ne 0$ ：唯一解。
$\det \mathbf{A} = 0$ 且方程互相矛盾：无解。
$\det \mathbf{A} = 0$ 且方程不矛盾（比如 $\mathbf{b} = \mathbf{0}$ ）：无穷多解。

让 $\det \mathbf{A} = 0$ 的参数值叫奇异值。一个未知数时， $\det \mathbf{A}$ 就是例 1、例 2 里的那个系数。

为什么纯电阻电路不会这样：只有电阻时， $\mathbf{A}$ 是第 4 章的电导矩阵，接法合法时总是可逆的。dependent source 的参数会进入 $\mathbf{A}$ （撕胶带时把含未知数的标签移到方程左边），而且可正可负，所以能找到一个参数值让 $\det \mathbf{A}$ 正好等于 0。

例题

例 3　两个节点：用行列式找奇异值

三个电阻都是 2 Ω。

v_1

、

v_2

是对地的节点电压。VCCS 的箭头朝上：电流

g v_1

从地流进节点 2。

(a) $g = 1$ S 时求 $v_1$ 、 $v_2$ 。(b) $g$ 取什么值时无解？(c) 如果 $I_s = 0$ ，在这个 $g$ 下会怎样？

贴胶带。VCCS 的电流叫 $i_c$ ，方向照箭头：从地流进节点 2。
节点 1 的 KCL（流出 = 流进）。流出：经 $R_1$ 到地 $\frac{v_1}{2}$ ，经 $R_2$ 到节点 2 $\frac{v_1 - v_2}{2}$ 。流进： $I_s = 3$ A。合并 $v_1$ 的两项： $\frac{v_1}{2} + \frac{v_1 - v_2}{2} = 3$ $v_1 - 0.5\,v_2 = 3$
节点 2 的 KCL。流出： $\frac{v_2 - v_1}{2} + \frac{v_2}{2}$ 。流进： $i_c$ 。 $\frac{v_2 - v_1}{2} + \frac{v_2}{2} = i_c$
撕胶带。 $i_c = g\, v_1$ 。它含未知数 $v_1$ ，移到左边，左边化简成 $-0.5 v_1 + v_2 - g v_1$ ： $-(0.5 + g)\, v_1 + v_2 = 0$
写成矩阵，算行列式。 $\begin{bmatrix} 1 & -0.5 \\ -(0.5+g) & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \end{bmatrix}$ 主对角线之积减副对角线之积， $(-0.5)\cdot\big(-(0.5+g)\big) = 0.5\,(0.5+g)$ ： $\begin{aligned} \det \mathbf{A} &= 1 - 0.5\,(0.5 + g) \\ &= 0.75 - 0.5\,g \end{aligned}$ 矩阵不对称： $g$ 只出现在左下角。含 dependent source 的电路都是这样，这是正常的。
(a) $g = 1$ S。第 2 个方程给 $v_2 = 1.5\, v_1$ 。代进第 1 个： $v_1 - 0.75\, v_1 = 3$ ， $0.25\, v_1 = 3$ ，所以 $v_1 = 12$ V， $v_2 = 18$ V。核对节点 1： $\frac{12}{2} + \frac{12 - 18}{2} = 6 - 3 = 3$ A ✓。节点 2：流出 $\frac{18-12}{2} + \frac{18}{2} = 12$ A，流进 $g v_1 = 12$ A ✓。
(b) 奇异值。令 $\det \mathbf{A} = 0.75 - 0.5\,g = 0$ ，得 $g = 1.5$ S。这时第 2 个方程给 $v_2 = 2 v_1$ ，代进第 1 个： $v_1 - v_1 = 3$ ，即 $0 = 3$ ，无解。
(c) $I_s = 0$ 、 $g = 1.5$ S。第 1 个方程变成 $v_1 - 0.5 v_2 = 0$ ，也是 $v_2 = 2v_1$ 。两个方程其实是同一个， $v_1$ 取任何值都满足：无穷多解。电路里一个独立源都没有，却允许非零电压，这也说明模型出了问题。（ $g \ne 1.5$ S 时， $I_s = 0$ 只有 $v_1 = v_2 = 0$ 一个解。）

和例 1 对照。用 Cramer 法则， $v_1 = \frac{3 \times 1 - (-0.5) \times 0}{\det \mathbf{A}} = \frac{I_s}{\det \mathbf{A}}$ ，所以从 $I_s$ 看进去的电阻是 $\frac{v_1}{I_s} = \frac{1}{0.75 - 0.5g}\ \Omega$ （ $g = 1$ S 时 4 Ω，正好 $12/3$ ）。 $g = 1.5$ S 时它变成无穷大：电流源"看到"一个开路，违反 KCL。例 1 是电压源"看到"一个短路，违反 KVL。两种无解是对偶的。

真实电路里会怎样：饱和

在实验室里把例 1 的电路接起来、取 $\mu = 1$ ，电压表一定能读出一个数。问题出在模型：真实的 dependent source（比如用 transistor 做的放大器）靠电源供电，输出不可能超过电源电压。课本图 5.15 画了一个更真实的 VCVS：只有在 $-\varepsilon \le v_x \le \varepsilon$ 这一段里 $v_c = \mu v_x$ ； $v_x \gt \varepsilon$ 时输出停在 $+V_s$ ， $v_x \lt -\varepsilon$ 时停在 $-V_s$ ，其中 $V_s = \mu\varepsilon$ 。这叫饱和 (saturation)， $\pm V_s$ 叫 saturation values，大约等于电源电压。

课本图 5.15 的样子：中间一段斜率 μ，两边是平的。

例题

例 4　用饱和模型重做例 1（μ = 1）

取 $\mu = 1$ 、 $\varepsilon = 4$ V，所以 $V_s = 4$ V。线性模型说无解，用饱和模型求 $v_x$ 。

线性区内无解（例 1），所以 VCVS 一定在线性区外：要么 $v_x \gt 4$ V、 $v_c = +4$ V，要么 $v_x \lt -4$ V、 $v_c = -4$ V。两种都试。
假设 $v_c = +4$ V。例 1 的 KVL 仍然成立（它和 VCVS 的特性无关）： $v_x = 8 + v_c = 12$ V。检查： $12 \gt 4$ ，确实在正饱和区，假设自洽 ✓。
假设 $v_c = -4$ V。 $v_x = 8 - 4 = 4$ V。检查：负饱和要求 $v_x \lt -4$ V，4 V 不满足 ✗。
答案： $v_x = 12$ V，VCVS 输出 4 V（课本图 5.16）。

步骤是：先按线性模型算；算不出来（或者算出的输出超过电源电压），就假设输出停在某个饱和值，再检查控制量是否真的在那一侧。op amp 的饱和（5·18）用的是同一套做法。

常见错误

算到 $0 \cdot v_x = 8$ 就写" $v_x = \infty$ "或" $v_x = 0$ "。正确的结论是： $\mu = 1$ 时无解，因为系数为 0 而常数不为 0。
分不清无解和无穷多解：系数（行列式）为 0 时，再看常数项，方程矛盾才是无解。
除非题目给了饱和值，本书都按线性 dependent source 算。

例 1 课本图 5.13：一个回路里的 VCVS

例 2 课上例题（第 10 讲）：(μ−1)Vx=V1(\mu - 1)V_x = V_1(μ−1)Vx​=V1​