信号分解 (signal decomposition)：用阶跃、斜坡、impulse 写波形

读图。$v = 0$（$t \le 0$），$3$（$0 \lt t \le 1$），$1$（$1 \lt t \le 2$），$3$（$t \gt 2$）。各段都是水平的，斜率处处是 0，所以只有跳变：特殊时刻 0、1、2，跳变量依次是 $3 - 0 = +3$、$1 - 3 = -2$、$3 - 1 = +2$。每个跳变补一个 $\Delta \cdot u(t - a)$：

检查。$t = -1$：0 ✓。$t = 0.5$：3 ✓。$t = 1.5$：$3 - 2 = 1$ ✓。$t = 3$：$3 - 2 + 2 = 3$ ✓。这个波形最后不回到 0，所以三个跳变加起来不是 0，而是终值 $3 - 2 + 2 = 3$。

读图。$f(t) = 0$（$t \le 0$），$t$（$0 \lt t \le 2$），$2$（$t \gt 2$）。特殊时刻 0 和 2，两处的值左右相等，都没有跳变，只有斜率变化。

结果 $f(t) = r(t) - r(t - 2)$。检查：$t = 1$：$1 - 0 = 1$ ✓。$t = 3$：$3 - 1 = 2$ ✓。展开 $t \gt 2$：$t - (t - 2) = 2$，正是第 2 张图里"抵消"的意思。

读图。$f(t) = 0$（$t \le 0$），$2t$（$0 \lt t \le 1$），$3 - t$（$1 \lt t \le 2$），$1$（$t \gt 2$）。在 $t = 1$：$2 \cdot 1 = 2$，$3 - 1 = 2$，相等；在 $t = 2$：$3 - 2 = 1$，相等。所以没有跳变，只有斜率变化。各段斜率依次是 0、+2、−1、0。

第 2 张图是关键：斜率从 +2 变成 −1，要补的是变化量 $-3$ 倍的 ramp，不是 $-1$ 倍。检查：$t = 0.5$：1 ✓。$t = 1.5$：$3 - 1.5 = 1.5$ ✓。$t = 3$：$6 - 6 + 1 = 1$ ✓。三个 $\Delta k$ 加起来 $2 - 3 + 1 = 0$，所以最后斜率是 0；但终值是 1，不是 0：斜率回到 0 不等于值回到 0。

读图。$f(t) = 0$（$t \le 0$），$t$（$0 \lt t \le 1$），$1$（$1 \lt t \le 2$），$4 - t$（$2 \lt t \le 4$），$0$（$t \gt 4$）。特殊时刻 0、1、2、4；只有 $t = 2$ 有跳变（1 → 2），其余三处只是拐角（$4 - t$ 在 $t = 4$ 正好是 0）。从左往右，在每个时刻补积木：

相加：

逐段检查（每段只留已经开始的项）：$0 \lt t \le 1$：$t$ ✓。$1 \lt t \le 2$：$t - (t - 1) = 1$ ✓。$2 \lt t \le 4$：$t - (t - 1) + 1 - (t - 2) = 4 - t$ ✓，$t = 2^+$ 时是 2。$t \gt 4$：$(4 - t) + (t - 4) = 0$ ✓。在 $t = 2$ 这一点，$u(0) = 0$、$r(0) = 0$，所以 $f(2) = 1$，取的是左边的值，图上实心点在 1。

(a) 例 1 的电压跌落 $v = 3u(t) - 2u(t - 1) + 2u(t - 2)$。每个 $u$ 换成 $\delta$：

反过来 $v = \frac1p[\,\cdots]$：从左往右累加面积，$t \lt 0$ 是 0；$0 \lt t \lt 1$ 已经加了 3；$1 \lt t \lt 2$ 是 $3 - 2 = 1$；$t \gt 2$ 是 $1 + 2 = 3$。正好回到原波形 ✓。

(b) 例 2 $f = r(t) - r(t - 2)$。每个 $r$ 换成 $u$：$p\,f = u(t) - u(t - 2)$，一个高 1 的脉冲，就是 $f$ 的斜率（$0$–$2$ 为 1，其余为 0）。再求一次：$p^2 f = \delta(t) - \delta(t - 2)$。所以 $f = \frac{1}{p^2}[\delta(t) - \delta(t - 2)]$。

(c) 例 3 的过冲波形 $f = 2r(t) - 3r(t - 1) + r(t - 2)$。每个 $r$ 直接换成 $\delta$，得 $p^2 f = 2\,\delta(t) - 3\,\delta(t - 1) + \delta(t - 2)$，即

impulse 的面积 2、−3、1 正是三个拐角的 $\Delta k$。中间那一级 $p\,f = 2u(t) - 3u(t - 1) + u(t - 2)$ 就是 $f$ 的斜率：$0$–$1$ 为 2，$1$–$2$ 为 $2 - 3 = -1$，之后为 0。

(d) 例 6 的课上波形：$r \to u$，$u \to \delta$，逐项换：

读这个结果：$u$ 那几项拼成"斜率函数"（$0$–$1$ 为 1，$1$–$2$ 为 0，$2$–$4$ 为 $1 - 1 - 1 = -1$，之后为 0），再加上 $t = 2$ 处那一跳给出的 $\delta(t - 2)$。

(a) $t \le 0$ 为 0；$t \gt 0$ 为 $e^{-t}$。在 0 处从 0 跳到 $e^0 = 1$，然后衰减。这是 capacitor 放电的形状（6·16）。

(b) $(t - 1)u(t - 1) = r(t - 1)$：$t = 1$ 以前为 0，之后从 0 开始以斜率 1 上升，没有跳变。$t\,u(t - 1)$ 是截断：$t \le 1$ 为 0，$t \gt 1$ 为 $t$，在 $t = 1^+$ 已经是 1，所以多了一个高 1 的跳变。代数上 $t\,u(t - 1) = (t - 1 + 1)\,u(t - 1) = r(t - 1) + u(t - 1)$。取 $t = 2$：$r(1) = 1$，而 $2\,u(1) = 2$，确实差 1。

(c) $e^{-(t-2)}u(t - 2)$ 是 (a) 平移 2：在 $t = 2$ 从 0 跳到 1 再衰减。$e^{-t}u(t - 2)$ 是截断：在 $t = 2$ 跳到 $e^{-2} \approx 0.135$。两者只差一个常数倍：$e^{-t}u(t - 2) = e^{-2} \cdot e^{-(t-2)}u(t - 2)$。

(d) 窗口 $u(t) - u(t - \pi)$ 只留 $0 \lt t \le \pi$，在这一段等于 $\sin t$：一个半拱。两端 $\sin 0 = \sin\pi = 0$，没有跳变。

1. 想清楚要找什么。由上面的结论，输入 $x = \sum_k \Delta_k u(t - a_k)$ 的输出是 $y = \sum_k \Delta_k s(t - a_k)$。所以只要把 $y$ 写成若干个平移、缩放的 $s$ 之和，平移量就是输入跳变的时刻 $a_k$，系数就是跳变量 $\Delta_k$。
2. 先用 ① 的方法把 $y$ 写成 ramp。$y$ 处处连续，没有跳变；斜率依次是 0、2、0、−3、0、1、0，变化发生在 0、1、2、3、3.5、4.5，$\Delta k$ 依次是 $+2, -2, -3, +3, +1, -1$： $$\begin{aligned} y &= 2r(t) - 2r(t - 1) - 3r(t - 2) \\ &\quad + 3r(t - 3) + r(t - 3.5) - r(t - 4.5) \end{aligned}$$
3. 两两配成 $s$。$s(t - a) = r(t - a) - r(t - a - 1)$，所以相差 1 s、系数相反的一对 ramp 就是一个平移的 $s$： $$y = 2s(t) - 3s(t - 2) + s(t - 3.5)$$ 下面三张小图把这三个 $s$ 逐个加上（灰色虚线是测得的 $y$）：

4. 读出输入。$s(t - a)$ 来自 $u(t - a)$，系数照搬： $$x(t) = 2u(t) - 3u(t - 2) + u(t - 3.5)$$ 即 $0 \lt t \le 2$ 时为 2，$2 \lt t \le 3.5$ 时为 −1，之后为 0。
5. 正向核对。把 $x$ 代回去算两个点：$y(2.5) = 2s(2.5) - 3s(0.5) + s(-1) = 2 - 1.5 + 0 = 0.5$，题目给的 $8 - 3 \times 2.5 = 0.5$ ✓。$y(4) = 2 - 3 + s(0.5) = -0.5$，题目给的 $4 - 4.5 = -0.5$ ✓。

没有做任何积分：只用了"拆成积木、平移、相加"，而且是倒着用的。这个系统的 $s$ 是折线，所以能直接读图；换成 RC 电路的 $s(t) = (1 - e^{-t/\tau})u(t)$，第 3 步的配对思路完全一样。