6·01

随时间变化的信号：阶跃、脉冲、斜坡、impulse

About 26 minLecture 11Book · Davis 6.1、6.5

从第 6 章开始，电源不再是常数：开关在某一时刻合上，电压、电流就突然从一个值变成另一个值。这一节把描述这类随时间变化的信号要用的东西集中在一处讲完：waveform 和 one-sided waveform，四块"积木"（unit step function $u$ 、pulse、unit ramp function $r$ 、unit impulse $\delta$ ），impulse 的 sampling property，以及怎样对带跳变的波形求导。Davis 把这几个函数统称为 singularity function。下一节 6·02 用它们把任意折线波形写成一行公式；后面的 capacitor、inductor、convolution 都直接用这里的定义。每个小标题后面注明内容出自录播哪一讲、课本哪一节。

① waveform 和 one-sided waveform Davis 6.1

waveform（波形）就是随时间变化的电压或电流，写成 $v(t)$ 、 $i(t)$ 。前五章的电源都是常数（dc），第 6 章起电源可以随时间变。

one-sided waveform（单边波形，Davis 定义 6.1）是在 $t \le 0$ 时全为 0 的波形。它描述"电路在 $t = 0$ 才开机"，开机以前什么都没有。第 6 章默认所有波形都是单边的。

画图约定（Davis 图 1.30）：波形在某一点跳变时，实心点标在这一点真正取到的值上，空心圈标在取不到的那一侧。这一节和下一节的图都按这个约定画。

② unit step function u(t) 课上第 11 讲 · Davis 1.3

定义（Davis 式 1.3-5）

u(t) = \begin{cases} 0, & t \le 0 \\ 1, & t \gt 0 \end{cases}

它描述"在 $t = 0$ 合上开关"：之前一直是 0，之后一直是 1。乘一个常数，就是在 $t = 0$ 接上一个直流源。例如 $12u(t)$ V 的电压源在 $t \le 0$ 时是 0 V（0 V 的电压源就是一根导线）， $t \gt 0$ 时是 12 V。 $u(t)$ 本身没有单位，单位跟着前面的系数走。

u(t)

。按 Davis 的约定，

t = 0

处实心点在 0（

u(0) = 0

），空心圈在 1。

跳变那一点取什么值。Davis 取 $u(0) = 0$ ；课上写的是 $t \ge 0$ 时为 1；Alexander 说 $u(0)$ 没有定义。只有当你恰好要报 $t = 0$ 这一点的值时才有区别，积分、求导和电路的响应都不受影响。为了不纠结这一点，常写 $0^-$ （跳变前一瞬间）和 $0^+$ （跳变后一瞬间）：不论哪种约定， $u(0^-) = 0$ 、 $u(0^+) = 1$ 。所以 Davis 写的 $v(0)$ 是开关动作之前的值，就是课上和 Alexander 写的 $v(0^-)$ 。

③ 平移和翻转：u(t − a)、u(a − t) 课上第 11 讲

$u(\cdot)$ 只看括号里那个式子（叫它自变量）的正负：自变量 $\gt 0$ 时为 1， $\le 0$ 时为 0。所以不管括号里写的是什么，都用同一个办法画，比死记"减号往右移"可靠：

画 u(…) 的两步

令自变量 = 0，解出 $t$ ：这就是跳变的时刻。
看跳变时刻的哪一边自变量 $\gt 0$ ：那一边的值是 1，另一边是 0。

例 1

课上的四个问题：u(t − 1)、u(t + 2)、u(−t)、u(1 − t)

分别画出这四个函数。

(a) $u(t - 1)$ 。自变量 $t - 1 = 0$ ⇒ 跳变在 $t = 1$ 。 $t \gt 1$ 时 $t - 1 \gt 0$ ，所以右边是 1、左边是 0。它就是 $u(t)$ 整体往右挪了 1：开关晚 1 秒合上。

(b) $u(t + 2)$ 。 $t + 2 = 0$ ⇒ 跳变在 $t = -2$ 。 $t \gt -2$ 时自变量为正，右边是 1。开关早 2 秒合上，所以到 $t = 0$ 时已经是 1 了。

(c) $u(-t)$ 。 $-t = 0$ ⇒ 跳变在 $t = 0$ 。 $t \lt 0$ 时 $-t \gt 0$ ，所以左边是 1、右边是 0。这是时间倒过来的阶跃："一直开着，在 $t = 0$ 断开"。

(d) $u(1 - t)$ 。 $1 - t = 0$ ⇒ 跳变在 $t = 1$ 。 $t \lt 1$ 时 $1 - t \gt 0$ ，左边是 1："一直开着，在 $t = 1$ 断开"。

(a) 在 t = 1 打开。

(b) 在 t = −2 打开。

(d) 在 t = 1 关掉。

总结： $u(t - a)$ 在 $t = a$ 从 0 跳到 1，是"在 $a$ 打开"； $u(a - t)$ 在 $t = a$ 从 1 跳到 0，是"在 $a$ 关掉"。四个图在跳变点的实心点都落在 $u(0) = 0$ 那一侧。

④ pulse：两个阶跃相减课上第 11 讲 · Davis 6.2

"打开一段时间再关掉"的信号叫 pulse（脉冲）。打开用一个阶跃，关掉就再减去一个晚一点的阶跃。Davis 式 6.2-6 把从 0 开始、持续 $T$ 、高 1 的脉冲记作 $P_T(t)$ ：

pulse

P_T(t) = u(t) - u(t - T)

为什么它等于" $0 \lt t \le T$ 时为 1，其余为 0"： $t \le 0$ 时两项都是 0，差是 0； $0 \lt t \le T$ 时第一项已经是 1、第二项还是 0，差是 1； $t \gt T$ 时两项都是 1，差又回到 0。

一般地，从 $t_1$ 开到 $t_2$ 、高 $A$ 的脉冲是 $A\,[u(t - t_1) - u(t - t_2)]$ ，它的面积是 $A\,(t_2 - t_1)$ 。

例 2

反过来设计：给定面积，求脉冲什么时候关掉

一个电流源在 $t = 0.5$ s 打开，输出 4 mA，要在关掉之前正好送出 6 mC 的 charge。电流对时间的积分就是送出的 charge，所以"送出 6 mC"就是"脉冲的面积是 6 mC"。求关掉的时刻 $t_2$ ，用阶跃写出 $i(t)$ ，再代 $t = 0.25$ 、1、3 s 检查。

读题。打开时刻 $t_1 = 0.5$ s，高 $A = 4$ mA，面积 6 mC；未知的是 $t_2$ 。
用面积公式反解。 $A\,(t_2 - t_1) = 6$ mC，即 $4\ \text{mA} \times (t_2 - 0.5\ \text{s}) = 6$ mC。mA·s = mC，所以 $t_2 - 0.5 = 1.5$ s， $t_2 = 2$ s。
套公式，逐项看它做了什么（下面两张小图：灰色虚线是要拼出的脉冲，青色是已经写下的项之和）： $i(t) = 4\,[u(t - 0.5) - u(t - 2)]$ mA。

①

+4u(t - 0.5)

：在 0.5 s 打开，之后一直是 4。

②

-4u(t - 2)

：2 s 以后再减 4，回到 0，和目标重合 ✓

检查。 $t = 0.25$ ： $u(-0.25) = u(-1.75) = 0$ ， $i = 0$ ✓。 $t = 1$ ： $u(0.5) = 1$ ， $u(-1) = 0$ ， $i = 4$ ✓。 $t = 3$ ：两项都是 1， $i = 0$ ✓。面积 $4 \times 1.5 = 6$ mC ✓。

例 2 的电流脉冲，阴影是送出的 6 mC。t = 0.5 处取 0（实心点在下），t = 2 处取 4（实心点在上）：都是 u(0) = 0 的结果。

也可以写成乘积 $4\,u(t - 0.5)\,u(2 - t)$ ，意思是" $t \gt 0.5$ 并且 $t \lt 2$ "。但相减的写法更有用：电路是 linear 的，对一个"和"可以逐项求响应再相加，对"积"不行。

⑤ unit ramp function r(t) 课上第 12 讲 · Davis 1.3

定义（Davis 式 1.3-6）

r(t) = t\,u(t) = \begin{cases} 0, & t \le 0 \\ t, & t \gt 0 \end{cases}

从 $t = 0$ 开始、斜率为 1 的直线。后面乘的 $u(t)$ 不能省：它把 $t \lt 0$ 那半条直线（负值）关掉。这是 $u(t)$ 最常见的用法：任何公式乘上 $u(t)$ ，在负时间就变成 0，成为 one-sided waveform。

记号。Davis 用 $p$ 表示对 $t$ 求导，用 $\frac1p$ 表示从 $-\infty$ 积到 $t$ （running integral）：

p\,x(t) = \frac{dx}{dt},\qquad \frac1p\,x(t) = \int_{-\infty}^{t} x(\lambda)\,d\lambda

$\frac1p$ 是下限固定在 $-\infty$ 的定积分，所以没有 +C。这两个算子的完整用法在 6·05 讲；这一节只用它们表示积木之间的关系。

ramp 是阶跃的 running integral。 $t \le 0$ 时被积的 $u$ 全是 0，积分是 0； $t \gt 0$ 时 $\int_{-\infty}^t u(\lambda)\,d\lambda = \int_0^t 1\,d\lambda = t$ 。两种情况合起来正是 $t\,u(t)$ ：

r(t) = \frac1p\,u(t),\qquad p\,r(t) = u(t)

第二式从图上也看得出： $r$ 的斜率在 $t \lt 0$ 是 0、在 $t \gt 0$ 是 1，这个"斜率函数"就是 $u(t)$ 。再积一次： $\frac1p r(t) = \int_0^t \lambda\,d\lambda = \frac{t^2}{2}u(t)$ 。

平移。在 $t = a$ 开始的 ramp 是

r(t - a) = (t - a)\,u(t - a)

两个 $t$ 都换成了 $t - a$ 。它在 $t \le a$ 为 0，之后以斜率 1 上升， $t = a + 1$ 时等于 1。只换一个 $t$ 、写成 $t\,u(t - a)$ 是常见的错，下一节例 9 专门讲。

r(t)

和往右挪 2 的

r(t - 2)

：形状一样，起点从 0 挪到 2。

⑥ unit impulse δ(t) 课上第 11 讲 · Davis 6.5、6.6

为什么需要它。阶跃在 $t = 0$ 一瞬间跳了 1，那一点的斜率是"无穷大"，普通的导数不存在。可电路里正需要这个导数：capacitor 电流 $i = C\,dv/dt$ ，如果 capacitor 电压被一下子抬高（6·15 的开关电路），电流就是一个"无穷大、但只持续一瞬间"的东西。下面这个极限给它一个确切的意思。

构造（Davis 图 6.54）。先把阶跃"磨圆"：令 $u_\varepsilon(t)$ 在 0 到 $\varepsilon$ 之间从 0 直线升到 1，其余和 $u$ 一样。它的导数在 $0 \lt t \lt \varepsilon$ 上是 $1/\varepsilon$ ，其余是 0：一个宽 $\varepsilon$ 、高 $1/\varepsilon$ 的脉冲，面积 $\varepsilon \times \frac1\varepsilon = 1$ ，不论 $\varepsilon$ 多小。让 $\varepsilon \to 0$ ：左图的 $u_\varepsilon$ 越来越陡，变成 $u$ ；右图的脉冲越来越窄、越来越高，面积一直是 1。这个极限叫 unit impulse（也叫 delta function），记作 $\delta(t)$ 。

u_\varepsilon(t)

：青

\varepsilon = \frac12

，橙

\varepsilon = \frac15

，紫

\varepsilon = \frac1{10}

。

它们的导数：高

1/\varepsilon

、宽

\varepsilon

的脉冲，面积都是 1。

unit impulse

$\delta(t) = 0$ （ $t \ne 0$ ）；只要积分区间包含 $t = 0$ ，就有 $\int \delta(t)\,dt = 1$ 。
$A\,\delta(t - a)$ 是位于 $t = a$ 、面积为 $A$ 的 impulse。Davis 把 $A$ 叫它的 strength（强度）。
画成一根竖直的箭头，旁边写的是面积，不是高度（它没有有限的高度）。面积为负，箭头就朝下。Davis 的图里朝下的箭头旁边写正数（例如写 1.5 表示面积 −1.5），也有书直接写负数，意思一样。

2\delta(t - 1)

：

t = 1

处面积 2。

-1.5\,\delta(t - 3)

：

t = 3

处面积 −1.5，箭头朝下。箭头的长短只是示意，真正的信息是旁边写的面积。

Davis 的实用解释。每个电路有自己的时间尺度：有的要几秒才看得出变化，有的几微秒。在你用的时间尺度上窄到看不见、但面积不为零的任何脉冲，都可以当成 impulse：它的形状看不见，它的面积会留在后面的波形里。

单位。 $\int \delta(t)\,dt = 1$ 没有单位，而 $dt$ 的单位是 s，所以 $\delta(t)$ 的单位是 $\text{s}^{-1}$ 。于是电流 impulse $Q\,\delta(t)$ A 里的 $Q$ 单位是 A·s = C：它在一瞬间送过去 charge $Q$ 。电压 impulse $A\,\delta(t)$ V 里的 $A$ 单位是 V·s（= Wb，flux linkage 的单位）。

⑦ sampling property：impulse 只"看见"一个点课上第 11 讲 · Davis 6.6

普通函数 $f(t)$ 乘上 $\delta(t - a)$ 会得到什么？用窄脉冲来想（Davis 图 6.58）：窄脉冲只在 $a$ 到 $a + \varepsilon$ 之间不为 0。 $\varepsilon$ 很小时， $f$ 在这么短的区间里几乎不变，约等于 $f(a)$ ，所以乘积约等于 $f(a)$ 乘那个脉冲，也就是一个面积约为 $f(a)$ 的窄脉冲。下图取 $f(t) = 1 + t/2$ 、 $a = 2$ 、 $\varepsilon = 0.25$ （脉冲高 4）：乘积的面积是 2.0625，已经很接近 $f(2) = 2$ ； $\varepsilon$ 再小就更接近。

青：

f(t)

。橙：窄脉冲

\delta_\varepsilon(t - 2)

，面积 1。紫：两者的乘积，阴影面积 2.0625 ≈

f(2)

。

取 $\varepsilon \to 0$ 的极限（要求 $f$ 在 $a$ 处连续），就得到：

sampling property（Davis 式 6.6-8；Alexander 叫 sifting property）

f(t)\,\delta(t - a) = f(a)\,\delta(t - a)

\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,\delta(t - a)\,dt = f(a)

第一式：乘积还是 $t = a$ 处的一个 impulse，面积变成 $f(a)$ 。第二式：把第一式两边积分， $f(a)$ 是常数，提到积分外面，剩下 $\int \delta(t - a)\,dt = 1$ 。积分区间不包含 $a$ 时，被积函数在整个区间上都是 0，结果是 0。

课上还写了另一个形式： $\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\,\delta(t - \tau)\,d\tau = f(t)$ 。这里 $\tau$ 是积分变量， $t$ 是一个固定的参数，impulse 位于 $\tau = t$ ，所以挑出来的是 $f(t)$ 。它说任何信号都可以看成无数个 impulse 叠加起来，是 convolution 的出发点（C·02）。

例 3

用 sampling property 化简和计算

(a) 化简 $(t^2 + 1)\,\delta(t - 2)$
(b) $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-t}\,\delta(t + 1)\,dt$
(c) $\displaystyle\int_{0}^{3} \cos(\pi t)\,\delta(t - 4)\,dt$
(d) $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} (3t - 1)\,\delta(t)\,dt$

每一题都按同样的顺序：先找 impulse 在哪里（令 $\delta$ 的自变量 = 0），再看积分区间包不包含它，最后代值。

看解答

(a) $t - 2 = 0$ ⇒ impulse 在 $t = 2$ 。 $f(2) = 2^2 + 1 = 5$ ，所以 $(t^2 + 1)\,\delta(t - 2) = 5\,\delta(t - 2)$ 。这里没有积分，结果仍是一个 impulse，只是面积变成了 5。

(b) $t + 1 = 0$ ⇒ impulse 在 $t = -1$ （不是 +1）。区间 $(-\infty, \infty)$ 包含 $-1$ 。代值： $e^{-(-1)} = e \approx 2.718$ 。

(c) impulse 在 $t = 4$ ，积分区间 $[0, 3]$ 不包含 4，被积函数在整个区间上都是 0，结果是 0。

(d) impulse 在 $t = 0$ ，区间包含 0。代值： $3 \cdot 0 - 1 = -1$ 。

⑧ δ = pu 和 generalized differentiation Davis 6.5、6.6

⑥ 的构造说明 $\delta$ 就是 $u$ 的导数：它是 $u_\varepsilon$ 的导数在 $\varepsilon \to 0$ 时的极限。用 Davis 的记号写：

阶跃和 impulse 互为导数和积分（Davis 式 6.5-17、6.6-2、6.6-3）

\begin{gathered} \delta(t - a) = p\,u(t - a) \\ u(t - a) = \frac1p\,\delta(t - a) \end{gathered}

第二式的意思：running integral 是"从 $-\infty$ 一路累加面积到 $t$ "。 $t \lt a$ 时还没碰到 impulse，累加是 0；一过 $t = a$ ，整块面积 1 加进来，之后再没有别的东西，一直是 1。这正是 $u(t - a)$ 。

有了它，任何带跳变的波形都能求导：

技巧 J：generalized differentiation（广义求导，Davis 式 6.6-14）

波形在 $t = a$ 跳了 $\Delta$ （跳后的值减跳前的值，往下跳为负），它的导数里就多一项 $\Delta\,\delta(t - a)$ ；其余地方照常求导（就是斜率）。只是斜率突然改变、值并没有跳的拐角，不产生 impulse。

理由：在 $a$ 处把波形拆成"一个连续的部分 + $\Delta\,u(t - a)$ "（Davis 式 6.6-12）。连续的部分照常求导， $\Delta\,u(t - a)$ 的导数是 $\Delta\,\delta(t - a)$ 。

对"函数乘阶跃" $f(t)\,u(t)$ ，这条规则写成公式就是乘积法则加 sampling property： $p[f(t)u(t)] = f'(t)u(t) + f(t)\delta(t) = f'(t)u(t) + f(0)\,\delta(t)$ 。最后一项正是 $t = 0$ 处从 0 跳到 $f(0)$ 的那一跳。这个公式的练习在 6·05（技巧 C）。

例 4

对积木和简单波形求导

求 (a) $p[3u(t - 1)]$ 　(b) $p\,r(t)$ 　(c) $p[(t + 2)\,u(t)]$ 。每一题都先读出"哪里跳了多少、各段斜率是多少"，再写导数。

(a) $3u(t - 1)$ 在 $t = 1$ 从 0 跳到 3， $\Delta = 3$ ；其余处处是常数，斜率 0。所以 $p[3u(t - 1)] = 3\,\delta(t - 1)$ 。

(b) $r$ 在 $t = 0$ 处左右的值都是 0，没有跳，只是斜率从 0 变成 1（拐角），所以没有 impulse。斜率在 $t \lt 0$ 是 0、 $t \gt 0$ 是 1，于是 $p\,r(t) = u(t)$ ，和 ⑤ 一致。

(c) 读图： $t \le 0$ 时是 0； $t \gt 0$ 时是 $t + 2$ ，从 2 开始以斜率 1 上升。 $t = 0$ 处从 0 跳到 2， $\Delta = 2$ ，给出 $2\,\delta(t)$ ；斜率在 $t \lt 0$ 是 0、 $t \gt 0$ 是 1，给出 $u(t)$ 。合起来

p[(t + 2)\,u(t)] = u(t) + 2\,\delta(t)

用公式核对： $f = t + 2$ ， $f' = 1$ ， $f(0) = 2$ ，所以 $f'u + f(0)\delta = u(t) + 2\delta(t)$ ✓。

例 5

Davis 例 6.18：一个有两次跳变的波形

$x(t)$ ： $t \le 0$ 时为 0； $0 \lt t \le 1$ 时为 $2t$ （从 0 升到 2）； $1 \lt t \le 3$ 时为 $-2$ ； $t \gt 3$ 时为 0。求 $p\,x(t)$ 。

x(t)

：

t = 1

处取左边的值 2，

t = 3

处取 −2。

斜率。只有 $0 \lt t \lt 1$ 这一段斜率不为 0，是 2；其余各段都是常数，斜率 0。斜率部分是 $2[u(t) - u(t - 1)] = 2P_1(t)$ 。
跳变。 $t = 0$ ：左右的值都是 0，没跳（只是拐角），没有 impulse。 $t = 1$ ：从 2 跳到 −2， $\Delta = -2 - 2 = -4$ ，给出 $-4\,\delta(t - 1)$ 。 $t = 3$ ：从 −2 跳到 0， $\Delta = 0 - (-2) = +2$ ，给出 $+2\,\delta(t - 3)$ 。
合起来。

p\,x(t) = 2P_1(t) - 4\,\delta(t - 1) + 2\,\delta(t - 3)

p\,x(t)

：一个高 2 的脉冲，加上

t = 1

处面积 −4、

t = 3

处面积 2 的两个 impulse。

Davis 的原图把 $t = 1$ 处的箭头画朝下、旁边写 4，表示面积 −4。注意原波形在 $t = 1$ 的空心圈和这根 impulse 无关：空心圈只是说 $x(1)$ 取左边的值 2。

例 6

running integral：从 δ 积回 u，从 u 积到 r

求 (a) $\frac1p[4\,\delta(t - 2)]$ 　(b) $\frac1p[2u(t - 1)]$ 　(c) $\frac{1}{p^2}\,\delta(t)$ （积两次）。

(a) 从 $-\infty$ 往右累加面积： $t \lt 2$ 时还没碰到 impulse，是 0；过了 $t = 2$ ，面积 4 加进来，之后不再变。所以结果是 $4u(t - 2)$ 。

(b) $t \le 1$ 时被积函数是 0，积分是 0； $t \gt 1$ 时 $\int_1^t 2\,d\lambda = 2(t - 1)$ 。合起来是 $2(t - 1)\,u(t - 1) = 2r(t - 1)$ 。

(c) 第一次： $\frac1p\delta = u$ ；第二次： $\frac1p u = r$ 。所以 $\frac{1}{p^2}\,\delta(t) = r(t)$ ，反过来 $p^2 r = \delta$ 。

把这一节的积木排成一条链，往右是 running integral $\frac1p$ ，往左是求导 $p$ ：

\delta(t)\ \xrightarrow{\ 1/p\ }\ u(t)\ \xrightarrow{\ 1/p\ }\ r(t)\ \xrightarrow{\ 1/p\ }\ \tfrac12 t^2 u(t)

每一项都换成 $t - a$ 也成立：平移不改变求导和积分之间的关系。下表是这一节的汇总。

积木	式子	样子	作用 $p$ 以后	作用 $\frac1p$ 以后
unit impulse	$\delta(t - a)$	$t = a$ 处面积 1 的箭头	（这里不用）	$u(t - a)$
unit step	$u(t - a)$	在 $a$ 从 0 跳到 1	$\delta(t - a)$	$r(t - a)$
pulse	$P_T(t) = u(t) - u(t - T)$	$0 \lt t \le T$ 时为 1	$\delta(t) - \delta(t - T)$	$r(t) - r(t - T)$
unit ramp	$r(t - a) = (t - a)\,u(t - a)$	从 $a$ 开始斜率 1	$u(t - a)$	$\tfrac12(t - a)^2 u(t - a)$

常见错误

$\delta(t + 1)$ 在 $t = -1$ ， $u(1 - t)$ 是左边为 1：都先令自变量 = 0。
$f(t)\,\delta(t - a)$ 里代的是 $f(a)$ ，不是 $f(0)$ ，也不是把 $f(t)$ 原样留着。
对 $f(t)u(t)$ 求导时漏掉 $f(0)\,\delta(t)$ 。只有 $f(0) = 0$ （波形在 0 处不跳）时才没有这一项。
$\frac1p$ 从 $-\infty$ 积起，没有 +C。
impulse 箭头旁边的数是面积； $A\,\delta(t)$ 的 $A$ 带着"单位 × 秒"。
用 sampling property 积分前，先看积分区间包不包含 impulse 的位置。

积分端点正好落在 impulse 上

$\int_0^\infty \delta(t)\,dt$ 是多少？sampling property 只说"区间包含 impulse 得 1、不包含得 0"。端点正好压在 impulse 上时，它没说算不算包含，所以只写 0 是有歧义的。把 $\delta$ 看成窄脉冲的极限就看得出来：脉冲放在 $(0, \varepsilon)$ 得 1，放在 $(-\varepsilon, 0)$ 得 0，对称放在 $(-\varepsilon/2, \varepsilon/2)$ 得 $\tfrac12$ 。

所以要把端点写清楚： $\int_{0^-}^{\infty} \delta(t)\,dt = 1$ （从开关前积，impulse 在区间里）， $\int_{0^+}^{\infty} \delta(t)\,dt = 0$ （impulse 已经过去）。带函数时同理：下限 $0^-$ 得 $f(0)$ ，下限 $0^+$ 得 0。

按 Davis 的约定答案是 1： $u(0) = 0$ ，而 $\int_{-\infty}^{t}\delta = u(t)$ ，所以 $\int_{-\infty}^{0}\delta = u(0) = 0$ ，到 $t = 0$ 为止 impulse 还没算进来， $\int_0^\infty \delta\,dt = u(\infty) - u(0) = 1$ 。这和 Davis 的 $v(0)$ 指开关前的值（= Alexander 的 $v(0^-)$ ）是同一个约定。

练习 1：sampling property

(a) $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} (t^3 - 2t)\,\delta(t - 2)\,dt$
(b) $\displaystyle\int_{-1}^{1} e^{2t}\,\delta(t - 3)\,dt$
(c) 化简 $(t^2 - 1)\,\delta(t + 1)$

提示

先找每个 impulse 的位置。

(a) impulse 在 $t = 2$ ： $2^3 - 2 \cdot 2 = 4$ 。(b) impulse 在 $t = 3$ ，不在 $[-1, 1]$ 里，结果 0。(c) impulse 在 $t = -1$ ， $f(-1) = 1 - 1 = 0$ ，所以 $(t^2 - 1)\,\delta(t + 1) = 0$ ：impulse 被乘没了。

练习 2：generalized differentiation

画出并求导：(a) $(2 - t)\,u(t)$ 　(b) $4u(t) - 6u(t - 3)$ 。

提示

先看 $t = 0$ （和 $t = 3$ ）处跳了多少，再看各段斜率。

(a) $t \gt 0$ 时是 $2 - t$ ：在 0 处从 0 跳到 2（ $+2\delta(t)$ ），之后斜率 −1（ $-u(t)$ ）。 $p[(2 - t)u(t)] = -u(t) + 2\,\delta(t)$ 。公式核对： $f' = -1$ ， $f(0) = 2$ ✓。

(b) $t \le 0$ 为 0， $0 \lt t \le 3$ 为 4， $t \gt 3$ 为 $4 - 6 = -2$ ，之后一直是 −2：0 处跳 +4，3 处跳 −6，各段都是常数。导数 $4\,\delta(t) - 6\,\delta(t - 3)$ 。往下跳的那根箭头面积 −6，比往上的长：两次跳变加起来是终值 −2，不是 0。