6.3 inductor：capacitor 的"对偶"

第二个储能元件是 inductor。它的方程和 capacitor 一模一样，只是电压和电流对调了位置：电压 = $L$ × 电流的斜率。所以 capacitor 的全部结论（图解法、初始值形式、连续性、储能、串并联）都可以对调着搬过来。

① inductor 是什么

② 电压和电流的关系

对 $\lambda = Li$ 求导（$L$ 是常数），再用 $v = p\lambda$：

$$v(t) = L\,\frac{di}{dt} = Lp\,i(t)$$ $$i(t) = \frac{1}{Lp}\,v(t) = \frac1L\int_{-\infty}^t v(\alpha)\,d\alpha$$

所以 inductor 的 impedance operator 是 $Z(p) = Lp$，admittance operator 是 $Y(p) = \frac{1}{Lp}$。读法和 capacitor 对调：已知电流求电压看电流的斜率（乘 $L$）；已知电压求电流算电压曲线下的面积（除以 $L$）。电流恒定时 inductor 两端电压是 0。

③ 对偶：capacitor 的其余结论对调过来

把 capacitor 的每个式子里 $v \leftrightarrow i$、$C \leftrightarrow L$、$q \leftrightarrow \lambda$ 对调，就得到 inductor 的式子。Davis 叫它 duality（对偶）。最常用的几条：

• 电流连续性：只要两端电压是有限值（不含 impulse），inductor 电流不能跳变。理由和 capacitor 一样：电流一瞬间跳 $\Delta i$，需要一瞬间积累 $L\,\Delta i$ 的 flux linkage，有限的电压做不到。例 1 里电压在跳，电流只是拐弯。
• 储能：$w_L = \tfrac12 L i^2$。推导：$P = v\,i = Li\frac{di}{dt} = \frac{d}{dt}\big[\tfrac12 Li^2\big]$，再积分。inductor 也是 passive、lossless 的。例：2 H 里流 3 A，存了 $\tfrac12 \times 2 \times 9 = 9$ J。
• 记忆：电压停了，电流保持在停下时的值（例 1 的 −1 A）。

④ inductor 串并联：和电阻一样

串联：同一个电流 $i$，由 KVL，$v = L_1p\,i + L_2p\,i = (L_1 + L_2)\,p\,i$，所以 $L_{eq} = L_1 + L_2$。并联：同一个电压 $v$，由 KCL，$i = \frac{v}{L_1p} + \frac{v}{L_2p} = \big(\frac1{L_1} + \frac1{L_2}\big)\frac1p\,v$，所以 $\frac{1}{L_{eq}} = \frac1{L_1} + \frac1{L_2}$。

网络化简的方法和 6·08 技巧 E 一样：上色认节点，两端同色的并联，只碰两个元件的颜色把它们串起来。梯形网络（一节串、一节并交替）从离端口最远的一节往回收，这叫技巧 F（练习 7、8 就是这样收的）。

最后把对偶关系列成一张表，复习用：