6·18 小练习（原创，答案折叠）

练习 1 · 带 impulse 的求导

求 $p[5e^{-2t}u(t)]$ 。

提示

先看 $f(0)$ 。

$f(0) = 5 \ne 0$ ： $p[5e^{-2t}u(t)] = -10e^{-2t}u(t) + 5\delta(t)$ 。

练习 2 · 积分

求 $\frac1p[6t\,u(t)]$ 和 $\frac{1}{p^2}[2u(t)]$ 。

$\int_0^t 6\alpha\,d\alpha = 3t^2$ → $3t^2u(t)$ 。 $\frac1p[2u] = 2t\,u$ ，再积一次 → $t^2u(t)$ 。

练习 3 · 拐角没有 impulse，跳变有

求 $p[(3 - t)\,u(t)]$ 。

$f(t) = 3 - t$ ， $f'(t) = -1$ ， $f(0) = 3$ ： $p[(3-t)u] = -u(t) + 3\delta(t)$ 。

练习 4 · 分段电流 → capacitor 电压

$C = 4$ F，原来没电。电流： $0 \lt t \le 2$ s 时 6 A， $2 \lt t \le 3$ 时 0， $3 \lt t \le 5$ 时 −3 A，之后 0。求 $v(2)$ 、 $v(3)$ 、 $v(5)$ ，并说出每段的形状。

$v(2) = 0 + 6 \times 2/4 = 3$ V（斜线）； $v(3) = 3$ V（电流 0，保持）； $v(5) = 3 + (-3 \times 2)/4 = 1.5$ V（斜线下降），之后保持 1.5 V。

练习 5 · 分段电压 → inductor 电流

$L = 0.5$ H，原来没电流。电压： $0 \lt t \le 2$ s 时 1 V， $2 \lt t \le 3$ 时 −2 V，之后 0。求 $i(2)$ 、 $i(3)$ 。

$i(2) = 0 + 1 \times 2/0.5 = 4$ A； $i(3) = 4 + (-2 \times 1)/0.5 = 0$ ，之后保持 0。

练习 6 · 串联 capacitor

2 F 和 3 F 串联接在 10 V 上（原来没电）。求等效 capacitor、电荷和各自电压。

$C_{eq} = \frac{6}{5} = 1.2$ F， $q = 12$ C。2 F 上 6 V，3 F 上 4 V（小 capacitor 分到大电压），6 + 4 = 10 ✓。

练习 7 · capacitor 网络

a 经一个 4 F 接到节点 x；x 和 b 之间并着两条支路：一条是 2 F，另一条是 3 F 串 6 F。(a) 求 $C_{eq}$ 。(b) a、b 间加 10 V（原来都没电），求 3 F 上的电压。

提示

先合并离端口最远的 3 F 串 6 F。

⓪ a 蓝、x 橙、y 紫、b 绿

① 紫色只碰 3 F、6 F → 串联 2 F

② 2 F ∥ 2 F（都是橙–绿）→ 4 F

③ 橙色只碰两个 4 F → 串联 2 F

(a) $C_{eq} = 2$ F。

(b) $q = 2 \times 10 = 20$ C 流过 a 端的 4 F，它上面 $20/4 = 5$ V，所以 $v_{xb} = 10 - 5 = 5$ V。3 F 串 6 F 跨在 5 V 上，反过来分压： $v_{3F} = \frac{6}{9}\times 5 = \frac{10}{3} \approx 3.33$ V。

练习 8 · inductor 网络

3 H 串联（6 H ∥ 3 H），等效多少？

⓪ 6 H、3 H 两端都是橙–绿

① 6 H ∥ 3 H →

\frac{6\times3}{6+3} = 2

H

② 橙色只碰 3 H、2 H → 串联 5 H

$L_{eq} = 5$ H。

练习 9 · dc steady state：跨在两条支路之间的 capacitor

12 V 源（+ 在上）接在上母线和底线之间。上母线到底线有两条支路：左支路是 2 Ω 在上、4 Ω 在下，中点叫 x；右支路是 3 Ω 在上、inductor $L$ 在下，中点叫 y。capacitor $C$ 跨在 x、y 之间（+ 在 x）。dc steady state 下求 inductor 电流（向下）和 $v_C$ 。

提示

capacitor 换成断开以后，两条支路互不相干。

C 断开、L 换导线。右支路：y 经导线直接接到底线， $v_y = 0$ ， $i_L = 12/3 = 4$ A。左支路分压： $v_x = \frac{4}{2 + 4}\times 12 = 8$ V。所以 $v_C = v_x - v_y = 8$ V。

练习 10 · impulse 电流

2 F capacitor 在 $0 \lt t \lt 1$ 时电压是 1 V，没有电流。 $t = 1$ 时流进一个 $4\delta(t-1)$ A。求之后的电压。

一瞬间送进 4 C，电压跳 $4/2 = 2$ V：从 1 V 变成 3 V 并保持。

练习 11 · 开关电容

4 F capacitor 充到 10 V，t = 0 开关把它和一个空的 1 F capacitor 并在一起（中间没有电阻）。求之后的电压、流进 1 F 的电流，以及能量变化。

电荷守恒： $40/(4+1) = 8$ V。 $i = 1 \cdot p[8u(t)] = 8\delta(t)$ A。能量 $\tfrac12 \times 4 \times 100 = 200$ J → $\tfrac12 \times 5 \times 64 = 160$ J，少了 40 J。

练习 12 · 积分器

反相积分器 $R = 20$ kΩ、 $C = 0.5$ µF，输入 $v_{in} = -1\cdot u(t)$ V，capacitor 原来没电。求 $t = 30$ ms 时的 $v_o$ （不饱和）。

$RC = 20\times10^3 \times 0.5\times10^{-6} = 10$ ms。 $v_o = -\frac{1}{RC}\frac1p[-u] = \frac{t}{RC}$ ， $t = 30$ ms 时 $v_o = 3$ V。