6.5 initial condition 与开关

前面都假设电路从 $t = -\infty$ 起就是空的（单边波形）。实际题目常常是：电路已经运行了很久，在 $t = 0$ 拨一下开关，问之后发生什么。这一节讲怎么把"过去"压缩成一个初始值，怎么把带初始值的 capacitor、inductor 画成模型，以及开关题的标准步骤。紧接着的第 14 讲 RC 例题就是这些步骤的应用。

① 过去的历史 = 一个初始值

6·04 ③、6·10 ② 的初始值形式取 $t_0 = 0$：

$$\begin{aligned} v(t) &= v(0) + \frac1C\int_0^t i(\alpha)\,d\alpha, \\ i_L(t) &= i_L(0) + \frac1L\int_0^t v(\alpha)\,d\alpha \end{aligned}$$

以前发生的所有事情，对以后的影响全部装在一个数里：capacitor 的初始电压 $v(0)$，或 inductor 的初始电流 $i_L(0)$。这叫 initial condition problem（初始条件问题）。Davis 规定 $u(0) = 0$，所以他写的 $v(0)$ 是开关动作之前那一刻的值，就是课上和 Alexander 写的 $v(0^-)$；开关刚动作之后的值写成 $v(0^+)$。

为了继续用单边波形和 $1/p$，Davis 把上式两边乘 $u(t)$：$v_+(t) = \frac{1}{Cp}\,i_+(t) + v(0)\,u(t)$。$v_+ = v\,u$ 是 $v$ 在 $t \gt 0$ 的那一段：$t \le 0$ 的部分扔掉，它的作用由 $v(0)$ 代替（one-sided truncation，单边截断）。

② initial condition 模型

另一种等价画法：impulse 源。同一个关系也能改写成"另一种相加"。capacitor 反解出电流：

$$\begin{aligned} i_+ &= Cp\big[v_+ - v(0)u(t)\big] \\ &= Cp\,v_+ - C\,v(0)\,\delta(t) \end{aligned}$$

这是两个电流相加，所以是并联：从 0 开始的 C，并联一个往 + 端打进 $C\,v(0)\,\delta(t)$ 的电流源。inductor 对偶：$v_+ = Lp\,i_+ - L\,i(0)\,\delta(t)$ 是两个电压相加，所以是串联一个电压 impulse $L\,i(0)\,\delta(t)$，它的 + 端朝 − 端子。

$t \gt 0$ 以后 impulse 都是 0：电流源为 0 就是开路，电压源为 0 就是短路，剩下的正是一个带初值的元件。两种画法互为 source transformation（阻抗 $\tfrac{1}{Cp}$ 和 $Lp$）：$v(0)u(t) \div \tfrac{1}{Cp} = C\,v(0)\,\delta(t)$，$i(0)u(t) \times Lp = L\,i(0)\,\delta(t)$。Davis 6.6 把源和元件串联的叫 series initial condition model，并联的叫 parallel initial condition model。哪种方便用哪种：列 KCL（nodal analysis）时用电流源那两种，列 KVL（mesh analysis）时用电压源那两种。到 Laplace（第 16 章）δ 变成常数，Alexander 16.2 节（图 16.1、16.2）两种都列出来了。

③ 开关

switches（开关）有两类：SPST（single-pole single-throw，单刀单掷）只有通、断两种状态；SPDT（single-pole double-throw，单刀双掷）把公共端从一边拨到另一边。开关只在 $t = 0$ 动一次：$t \le 0$ 在原位置，$t \gt 0$ 在新位置。闭合的开关就是一根导线，两边是同一个节点（图里同色）。

所以一道开关题其实是两个电路：$t \le 0$ 电路和 $t \gt 0$ 电路。

课本例 6.14 是 inductor 版：18 A 源先流过 6 H（3 H 被短路，电流 0），开关后两个 inductor 接成一个圈。对偶的守恒量是 flux linkage：$6 \times 18 + 3 \times 0 = 108$ Wb，分给 $6 + 3 = 9$ H，$i = 12u(t)$ A。6·15 例 3 有一个画了图的 inductor 例子。