6·03

6.1 什么叫线性；电阻电路只会"按比例混合"

About 18 minBook · Davis 6.1

Davis 6.1 的结论是：电阻电路里每个电压、电流都是独立源波形的 linear combination（线性组合），他把这叫 multilinear。要看懂这句话，先得知道电路里说的"线性"到底是什么意思，它和代数课里的"线性函数 $y = mx + b$ "不完全一样。这一节先把线性讲清楚，再说明电阻电路为什么是线性、无记忆的，最后说明这件事为什么重要。（波形、单边波形、 $u(t)$ 、脉冲这些记号见 6·01。）

① 什么叫 linear（线性）

把电路看成一台机器：送进去一个输入 $x$ （某个独立源的值或波形），读出来一个输出 $y$ （我们关心的某个电压或电流）。记作 $x \to y$ 。

linear（线性）＝ superposition 成立

如果对任意输入、任意常数 $k$ ，下面两条都成立，就说 $x \to y$ 是 linear：

homogeneity（齐次性，也叫比例性）：输入乘 $k$ ，输出也乘 $k$ 。若 $x \to y$ ，则 $kx \to ky$ 。
additivity（可加性）：两个输入加在一起，输出等于各自输出之和。若 $x_1 \to y_1$ 、 $x_2 \to y_2$ ，则 $x_1 + x_2 \to y_1 + y_2$ 。

两条合起来就是 superposition（叠加原理）： $k_1x_1 + k_2x_2 \to k_1y_1 + k_2y_2$ 。Davis 6.1 的脚注写成 $f(ax) = af(x)$ 和 $f(x + y) = f(x) + f(y)$ 。

白话：输入翻倍，输出就翻倍；两个输入一起来，输出就是"各自单独来时的输出"加起来。 $x$ 可以是一个数，也可以是一整条波形 $x(t)$ ，那时两条性质要在每个时刻都成立。

快速检查：零输入必须给出零输出

在 homogeneity 里取 $k = 0$ ：输入 $0 \cdot x = 0$ ，输出必须是 $0 \cdot y = 0$ 。所以线性关系在输入为 0 时，输出一定是 0。只要输入为 0 时输出不是 0，马上可以断定不是线性的。

反过来不成立：零进零出只是必要条件。例如 $y = x^2$ ： $x = 0$ 时 $y = 0$ ，可是 $x = 1 \to 1$ 、 $x = 2 \to 4$ ，输入翻倍、输出变成 4 倍，homogeneity 不成立。

例题

例 1　 $y = 2x$ 是线性的

检查 $y = 2x$ 是否满足两条性质，并用数字核对。

homogeneity：输入换成 $kx$ ，输出是 $2(kx) = k(2x) = ky$ ✓。

additivity：输入换成 $x_1 + x_2$ ，输出是 $2(x_1 + x_2) = 2x_1 + 2x_2 = y_1 + y_2$ ✓。

数字核对： $x = 1 \to y = 2$ ， $x = 3 \to y = 6 = 3 \times 2$ （输入乘 3，输出乘 3）✓。两个一起来： $x = 1 + 3 = 4 \to y = 8 = 2 + 6$ ✓。零输入： $x = 0 \to y = 0$ ✓。结论：线性。

例题

例 2　 $y = 4 + 2x$ 不是线性的（课本 Q6.1-1 的式子）

用同样的方法检查 $y = 4 + 2x$ 。

零输入： $x = 0 \to y = 4 \ne 0$ 。这一步就已经可以断定不是线性的。下面再用数字看两条性质各自怎样失败。

homogeneity： $x = 1 \to y = 4 + 2 = 6$ 。输入翻倍到 $x = 2$ ，输出是 $4 + 4 = 8$ ，而不是 $2 \times 6 = 12$ ✗。

additivity： $x_1 = 1 \to 6$ ， $x_2 = 2 \to 8$ 。一起来 $x = 3 \to 4 + 6 = 10$ ，而不是 $6 + 8 = 14$ ✗。差的正好是多算了一次的常数 4。

结论：两条都不满足，不是线性的。问题全出在常数项 4 上：去掉它，就是例 1 的 $y = 2x$ 。

affine（仿射）

形如 $y = mx + b$ 、常数 $b \ne 0$ 的关系叫 affine：一个线性部分 $mx$ 加一个常数 $b$ 。它不是线性的，但它的变化量是成比例的： $\Delta y = m\,\Delta x$ 。例 2 里 $x$ 从 1 增加到 2， $y$ 增加 $8 - 6 = 2 = 2 \times 1$ 。

那为什么代数课把 $y = mx + b$ 叫"线性函数"？因为那里的"线性"只是说它的图像是一条直线。电路和信号系统里的 linear 指的是上面两条性质，只有过原点的直线 $y = mx$ 满足。不过原点的直线在这里叫 affine。同一个词，两门课的意思不同，做题时按电路的意思判断。

② 电路里的常数项从哪来

只有电阻和独立源的电路，如果把所有独立源都关掉（电压源换成导线，电流源换成开路），电路里就没有任何能量来源，所有电压、电流都是 0。所以如果 $x$ 是电路里唯一的独立源， $x = 0$ 时输出必须是 0，不可能出现 $y = 4 + 2x$ 里的那个 4。这就是课本 Q6.1-1 的答案：在" $x$ 是唯一独立源"的前提下， $y = 4 + 2x$ 不是 linear，也不是 multilinear（④ 定义），这样的电阻电路不存在。

常数一旦出现，就说明电路里还有另一个独立源（比如一个一直接着的电池）。那个 4 就是它的贡献。把它也算作输入，关系就重新变成线性的：设电池电压为 $V_B$ ，它的贡献是 $aV_B = 4$ ，那么 $y = 2x + aV_B$ 。把 $x$ 和 $V_B$ 同时乘 $k$ ， $y$ 也乘 $k$ ；两个都为 0 时 $y = 0$ 。所以判断线性时，所有独立源都要算作输入。这正是 Davis 说"输出是全部 independent source 的 linear combination"的原因。只盯着其中一个源、其余的源一直开着，看到的就是 affine 关系。

你已经见过这种情况：Thévenin 等效 $v = v_{oc} + R_{th}\,i$ （ $i$ 从端口 + 端流进）。对端口电流 $i$ 来说它是 affine 的，常数 $v_{oc}$ 正是电路内部所有独立源的贡献。把内部的源也算作输入，它又是线性的。下面例 5 会用到这一点。

③ linear combination 和 memoryless

linear combination（线性组合）

几个输入 $x_1, \dots, x_N$ 的 linear combination 是

y = a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_Nx_N

其中系数 $a_k$ 是常数：不随时间 $t$ 变，也不依赖任何输入。每一项都是"一个常数 × 一个输入"，没有 $x_1x_2$ 、 $x^2$ 这样的乘积，也没有不带输入的常数项。

linear combination 总是满足 superposition（把全部输入看成一组）：所有 $x_k$ 都乘 $k$ ，每一项都乘 $k$ ， $y$ 也乘 $k$ ；两组输入相加，每一项分别相加， $y$ 也相加。例 1 是 $N = 1$ 、 $a_1 = 2$ 的情况。

memoryless（无记忆）

如果时刻 $t$ 的输出只由同一时刻 $t$ 的输入决定，和过去的输入无关，就说这个关系是 memoryless。

例如 $v(t) = 0.2\,v_s(t)$ 是 memoryless：要知道 $t = 5$ s 时的 $v$ ，只需知道 $t = 5$ s 时的 $v_s$ 。下一节的 capacitor 不是：它的电压 $v(t) = \frac{1}{C}\int_{-\infty}^{t} i(\tau)\,d\tau$ 是从过去一直到现在的电流累积面积，过去的电流都会影响现在的电压，这叫有记忆。

④ 电阻电路：独立源波形的 linear combination

电阻电路的输出 = 独立源波形的 linear combination

只含电阻、dependent source 和 independent source 的电路里，任何一个电压或电流 $y(t)$ 都可以写成

\begin{aligned} y(t) = {} & a_1x_1(t) + a_2x_2(t) \\ & + \cdots + a_Nx_N(t) \end{aligned}

其中 $x_k(t)$ 是第 $k$ 个 independent source 的波形，系数 $a_k$ 是只由电阻（和 dependent source 的增益）决定的常数。每个源单独作用时的"部分响应" $y_k = a_kx_k$ 都是它自己那个源的线性函数，Davis 因此把这个关系叫 multilinear（多重线性）。

为什么成立：电阻电路的所有方程（KCL、KVL、欧姆定律、dependent source 的控制关系）都是代数方程，没有导数和积分，而且都是线性的。所以在每一个时刻 $t$ ，电路都只是一个普通的直流电路，各个源取那一刻的值。由 superposition，答案等于各个源单独作用的结果之和；每个源单独作用时，结果就是"一个常数 × 这个源此刻的值"。dependent source 不算输入：它的值由电路里别的电压电流决定，叠加时不能关掉它。

两个推论。第一，输出的形状只能是输入形状的缩放和叠加：方波进去，出来的还是方波（可能是几个方波的和），不会变成斜坡。第二，电阻电路是 memoryless 的：每一时刻的方程只含那一时刻的源值。

例题

例 3　三角形输入，三角形输出

电源 $v_s(t)$ 串 4 Ω 再串 1 Ω，求 1 Ω 上的 $v(t)$ 。 $v_s$ 是三角形：从 0 线性升到 $t = 1$ 时的 10 V，再线性降回 $t = 2$ 时的 0，之后是 0。

每个时刻都是普通分压： $v(t) = \frac{1}{4 + 1}\,v_s(t) = 0.2\,v_s(t)$ 。这是 $N = 1$ 、 $a_1 = 0.2$ 的 linear combination。所以 $v(t)$ 也是三角形，同样在 $t = 1$ 到顶、 $t = 2$ 回到 0，峰值从 10 V 缩成 $0.2 \times 10 = 2$ V。形状完全不变，只是按比例缩小； $v(t)$ 只取决于同一时刻的 $v_s(t)$ ，memoryless。

例 4、例 5 的电路。

i_s

的箭头向下，表示电流从上面的节点流出、流到底线。

v

是 6 Ω 两端的电压，上 + 下 −。

例题

例 4　两个源，写成 $a_1v_s + a_2i_s$ （课本例 6.3）

$v_s(t) = 9u(t)$ V， $i_s(t) = 4u(t-1)$ A。先求出 $v = a_1v_s + a_2i_s$ 里的两个常数，再求 $v(t)$ 。

第 1 步：只留 $v_s$ 。把 $i_s$ 换成开路（关掉电流源就是让它的电流为 0）。剩下 $v_s$ 、3 Ω、6 Ω 串成一圈， $v$ 是 6 Ω 上的分压： $v' = \frac{6}{3+6}\,v_s = \frac23\,v_s$ 。所以 $a_1 = \frac23$ （无单位）。

第 2 步：只留 $i_s$ 。把 $v_s$ 换成导线（关掉电压源就是让它的电压为 0）。这时 3 Ω 和 6 Ω 都从上面的节点接到底线，是并联： $3 \parallel 6 = \frac{3 \times 6}{3 + 6} = 2\ \Omega$ 。 $i_s$ 从这个节点流出，所以电流在两个电阻里从下往上流，节点电压为负： $v'' = -2\,i_s$ 。所以 $a_2 = -2\ \Omega$ 。

第 3 步：相加，代入波形。

\begin{aligned} v(t) &= \tfrac23\,v_s(t) - 2\,i_s(t) \\ &= 6u(t) - 8u(t-1)\ \text{V} \end{aligned}

第 4 步：分段读出来。 $t \le 0$ ：两个阶跃都是 0， $v = 0$ 。 $0 \lt t \le 1$ ：只有 $u(t) = 1$ ， $v = 6$ V。 $t \gt 1$ ：两个都是 1， $v = 6 - 8 = -2$ V。

核对（不用叠加，直接节点法）： $t = 2$ 时 $v_s = 9$ 、 $i_s = 4$ ，对上面的节点写 KCL，流出的电流之和为 0： $\frac{v - 9}{3} + \frac{v}{6} + 4 = 0$ 。乘 6： $2v - 18 + v + 24 = 0$ ， $v = -2$ V ✓。波形只是两个阶跃按常数比例相加，没有新形状。

例题

例 5　只看一个源：affine 关系

同一个电路，但 $v_s$ 换成一个一直接着的 9 V 电池，只把 $i_s = x$ 当成输入。写出 $v$ 和 $x$ 的关系。它是线性的吗？电池也算输入时呢？

看解答

第 1 步：代入例 4 的结果。 $v = \frac23 \times 9 - 2x = 6 - 2x$ （ $v$ 单位 V， $x$ 单位 A）。

第 2 步：对 $x$ 检查。 $x = 0 \to v = 6 \ne 0$ ，不是线性的，是 affine。数字： $x = 1 \to 4$ ， $x = 2 \to 2$ ，不是 $2 \times 4 = 8$ ✗； $x = 1$ 和 $x = 2$ 一起来 $x = 3 \to 0$ ，不是 $4 + 2 = 6$ ✗。

第 3 步：把电池电压 $V_B$ 也算输入。 $v = \frac23 V_B - 2x$ ，这是 $V_B$ 和 $x$ 的 linear combination。核对： $V_B = 9, x = 1$ 给 $v = 4$ ；两个都翻倍， $V_B = 18, x = 2$ 给 $v = 12 - 4 = 8 = 2 \times 4$ ✓。

第 4 步：用 Thévenin 看同一件事。从电流源两端看进去：开路电压 $v_{oc} = \frac{6}{3 + 6} \times 9 = 6$ V， $R_{th} = 3 \parallel 6 = 2\ \Omega$ 。流进端口 + 端的电流是 $-x$ （ $x$ 从 + 节点流出），所以 $v = v_{oc} + R_{th}(-x) = 6 - 2x$ ，和第 1 步一样。常数 6 V 就是电池的贡献。

容易判断错的地方

① 代数课的"线性"。 $y = mx + b$ 在代数课叫线性函数，在这里 $b \ne 0$ 时是 affine，不是 linear。判断方法：先看零输入是否给零输出。

② 只算了一部分源。判断线性时要把所有 independent source 都算作输入。只看一个源、其余源一直开着，得到的是 affine（例 5），这不说明电路不线性。

③ 把 dependent source 当输入关掉。dependent source 不是输入，它的值由电路决定。叠加时只关 independent source，dependent source 留在电路里。

为什么要在意线性：线性意味着可以拆开算、再加起来。后面把一个复杂的输入拆成很多阶跃或 impulse（decomposition，见 6·02），每块单独求响应再相加，最后发展成 convolution，靠的都是 superposition。capacitor 和 inductor 也是线性元件（ $i = C\,dv/dt$ 满足两条性质），所以含它们的电路仍然可以叠加；但它们有记忆，会改变波形的形状（例如把方波变成斜坡）。capacitor 的积分形式 $v(t) = v(t_0) + \frac1C\int_{t_0}^{t} i\,d\tau$ 对 $i$ 是 affine 的，常数 $v(t_0)$ 就像一个额外的源；6·13 的 initial condition 模型正是把它画成一个独立源。下面先讲 capacitor。

① 什么叫 linear（线性）

例 1 y=2xy = 2xy=2x 是线性的

例 2 y=4+2xy = 4 + 2xy=4+2x 不是线性的（课本 Q6.1-1 的式子）