6·11

6.3 一种元件的网络：Z(p) 的通用公式

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6·08 和 6·10 分别推了 capacitor、inductor 的串并联公式，推导几乎一样。这一节用 impedance operator 一次推完：三种元件共用一套公式，代入各自的 $Z(p)$ 就行。

① 串联

串联的元件流过同一个电流 $i$ ，每个元件 $v_k = Z_k(p)\,i$ 。由 KVL： $v = Z_1\,i + Z_2\,i = (Z_1 + Z_2)\,i$ ，所以 $Z_{eq} = Z_1 + Z_2$ 。分压： $i = v/Z_{eq}$ ，于是 $v_1 = Z_1\,i = \frac{Z_1}{Z_1 + Z_2}\,v$ 。

② 并联

并联的元件两端是同一个电压 $v$ ，每个 $i_k = v/Z_k$ 。由 KCL： $i = v/Z_1 + v/Z_2$ ，所以 $\frac{1}{Z_{eq}} = \frac1{Z_1} + \frac1{Z_2}$ ，两个时 $Z_{eq} = \frac{Z_1Z_2}{Z_1+Z_2}$ 。分流： $v = Z_{eq}\,i$ ，于是 $i_1 = v/Z_1 = \frac{Z_2}{Z_1 + Z_2}\,i$ 。

	串联	并联
等效	$Z_{eq} = Z_1 + Z_2$	$Z_{eq} = \dfrac{Z_1Z_2}{Z_1+Z_2}$
分配	分压 $v_1 = \dfrac{Z_1}{Z_1+Z_2}\,v$	分流 $i_1 = \dfrac{Z_2}{Z_1+Z_2}\,i$

例题

例 1　代入 capacitor：得到 6·08 的"反过来"分压

橙色节点只碰两个元件：串联，流过同一个电流。

v_1

是上面那个 capacitor 的电压。

两个 capacitor 串联，用通用公式求 $v_1$ 。

$Z_1 = \frac{1}{C_1p}$ ， $Z_2 = \frac{1}{C_2p}$ 。 $v_1 = \frac{1/(C_1p)}{1/(C_1p) + 1/(C_2p)}\,v$ 。分子分母同乘 $p$ （ $p$ 约掉），再同乘 $C_1C_2$ ： $v_1 = \frac{C_2}{C_2 + C_1}\,v$ 。和 6·08 一样 ✓：分子变成了另一个的电容量，正是"反过来"的来历。

例题

例 2　代入 inductor：p 同样约掉

两个 inductor 标成 impedance operator

3p

、

6p

。两端都是蓝–绿：并联，两端是同一个电压。

3 H 和 6 H 并联，总电流 $i(t)$ 。求 3 H 的电流。

$i_{3H} = \frac{Z_{6H}}{Z_{3H} + Z_{6H}}\,i = \frac{6p}{3p + 6p}\,i = \frac{6}{9}\,i = \frac23\,i$ 。总电流是 9 A 时，3 H 分到 6 A。6·12 例 3 会用到这个结果。

Davis 把这叫 advantages of operators（算子的好处）：不管什么元件，等效和分压分流的形式都一样。

只限一种元件

$p$ 能约掉，是因为每个 $Z$ 里都有同样的 $p$ 因子（全是 $R$ 、全是 $Lp$ ，或全是 $\frac{1}{Cp}$ ）。 $R$ 和 $C$ 混在一起时，比如 $\frac{R}{R + 1/(Cp)}$ ， $p$ 约不掉，结果要解微分方程，那是第 7 章一阶电路的内容（第 14 讲 RC 电路）。

① 串联

② 并联

例 1 代入 capacitor：得到 6·08 的"反过来"分压

例 2 代入 inductor：p 同样约掉

例 1　代入 capacitor：得到 6·08 的"反过来"分压

例 2　代入 inductor：p 同样约掉