6.7 有源储能电路

这一节用到第 5 章的 dependent source 和 op amp（virtual short：负反馈时两个输入端电压相等，输入端不取电流）。

把 capacitor 和 op amp、dependent source 放在一起，可以做出"会积分的电路"、"会求导的电路"，还能让一个小 capacitor 从外面看像一个大 capacitor。推导全部用 6·06 的 impedance operator：把 capacitor 当成阻抗 $\frac{1}{Cp}$ 的"电阻"，照第 5 章的方法做。

① op amp 积分器和微分器

积分器就是把反相放大器的反馈电阻换成 capacitor。推导：+ 端接地，有负反馈，virtual short 给出 $v_- = 0$。流过 $R$ 的电流 $i = \frac{v_{in} - 0}{R}$。op amp 输入端不取电流，这个电流全部流进 capacitor（从 − 端流向输出）。capacitor 左端电压 0、右端 $v_o$，所以 $i = Cp\,(0 - v_o)$。两式相等：

$$\begin{aligned} \frac{v_{in}}{R} &= -Cp\,v_o \\ \Rightarrow\quad v_o &= -\frac{1}{RCp}\,v_{in} = -\frac{1}{RC}\int_{-\infty}^{t} v_{in}\,d\alpha \end{aligned}$$

这其实就是反相放大器的 $v_o = -\frac{Z_f}{Z_{in}}\,v_{in}$，$Z_f = \frac{1}{Cp}$、$Z_{in} = R$。把 capacitor 和 $R$ 对调就是微分器：$Z_{in} = \frac{1}{Cp}$、$Z_f = R$，$v_o = -RCp\,v_{in} = -RC\,\frac{dv_{in}}{dt}$。

② capacitance multiplier（电容倍增器）

VCVS 的下端接端口 −，上端（− 号）比下端低 $\mu v$，所以 capacitor 右端的电位是 $-\mu v$。capacitor 左端是端口 +，电位 $v$。capacitor 两端电压是 $v - (-\mu v) = (1 + \mu)\,v$：

$$\begin{aligned} i &= Cp\big[(1+\mu)\,v\big] = (1 + \mu)\,C\,p\,v \\ \Rightarrow\quad C_{eq} &= (1 + \mu)\,C \end{aligned}$$

从端口看，它像一个 $(1+\mu)$ 倍大的 capacitor。芯片上做大 capacitor 很占面积，用这个办法可以拿小 capacitor 做出大的。例：$C = 10$ nF、$\mu = 99$，$C_{eq} = 100 \times 10$ nF = 1 µF。课本例 6.22 把一个 $\mu = 8$ 的倍增器（等效 $9C$）接到一个充到 20 V 的 $C$ 上，按 6·13 例 2 的分压，电压变成 $\frac{1/(9Cp)}{1/(Cp) + 1/(9Cp)}\times 20 = 2$ V。

③ Miller equivalent（Miller 等效）

一个元件 $Z$ 跨在两个节点 1、2 之间，而且电路的其余部分保证 $v_2/v_1 = \mu$ 是常数（例如节点 2 是一个增益为 $\mu$ 的放大器的输出）。从节点 1 流进 $Z$ 的电流是

$$i_a = \frac{v_1 - v_2}{Z} = \frac{v_1(1 - \mu)}{Z} = \frac{v_1}{Z/(1-\mu)}$$

它只和 $v_1$ 有关，所以从节点 1 看，$Z$ 等于一个接地的 $Z_{m1} = \frac{Z}{1 - \mu}$。同理从节点 2 流进的电流 $i_b = \frac{v_2 - v_1}{Z} = \frac{v_2(1 - 1/\mu)}{Z}$，等于一个接地的 $Z_{m2} = \frac{Z}{1 - 1/\mu}$。前提是 $\mu$ 不因接上 $Z$ 而改变。