C·01

先看问题：知道 h，求任意输入的输出

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这一部分要回答一个问题：一个电路（更一般地说，一个系统）对 unit impulse 的反应 $h(t)$ 已经知道了，输入换成任意波形 $x(t)$ 时，输出 $y(t)$ 是什么？答案就是 convolution。这一节先把要用到的词定义清楚，再用只含 impulse 的输入做两个最简单的推理；下一节把它推广成 convolution 积分。

一个系统：左边进来输入，右边出去输出。

① 系统、输入、输出

system（系统）就是"吃进一个信号、吐出一个信号"的东西。在电路里，输入通常是某个独立源的波形，输出是我们关心的某个电压或电流。比如一个电流源并联一个电阻和一个 inductor：输入是电流源的电流 $x(t)$ ，输出是 inductor 电流 $y(t)$ 。下面用 $x \to y$ 表示"输入 $x$ 产生输出 $y$ "。

linear（线性）

如果 $x_1 \to y_1$ 、 $x_2 \to y_2$ ，那么对任意常数 $a, b$ ：

a\,x_1 + b\,x_2 \;\to\; a\,y_1 + b\,y_2

白话：输入放大 $k$ 倍，输出也放大 $k$ 倍；两个输入同时加进来，输出就是各自输出之和。这就是第 3 章的叠加原理 (superposition)。由电阻、capacitor、inductor、线性 dependent source 组成的电路都满足它，前提是输入到来之前所有 capacitor、inductor 都不储能（initial condition 为 0）。如果有初始储能，输入为 0 时输出也不为 0，"输入乘 $k$ 、输出也乘 $k$ "就不成立了。

time-invariant（时不变）

如果 $x(t) \to y(t)$ ，那么对任意 $t_0$ ：

x(t-t_0) \;\to\; y(t-t_0)

白话： $x(t-t_0)$ 是把 $x$ 的图像整体向右挪 $t_0$ （ $t_0 \gt 0$ 时就是"晚 $t_0$ 秒"）。time-invariant 说的是：同一个输入晚 $t_0$ 秒送进去，输出的形状完全一样，只是也晚 $t_0$ 秒出来。元件值不随时间变的电路都满足这一条：今天做实验和明天做实验，结果一样。

两条都满足的系统叫 LTI（linear time-invariant）。这一部分的所有结论都只对 LTI 系统成立。

② impulse response

unit impulse $\delta(t)$ 和 unit step $u(t)$ 在第 6 章部分讲过（6·01）： $A\,\delta(t-t_0)$ 是位于 $t_0$ 、面积为 $A$ 的 impulse，图上画成高 $A$ 的箭头，箭头高度表示面积。

impulse response（冲激响应）

系统在此之前完全静止（所有 initial condition 为 0），输入 $\delta(t)$ 时的输出，记作 $h(t)$ ：

\delta(t) \;\to\; h(t)

$h$ 是系统的"指纹"：下一节会证明，LTI 系统只要知道 $h$ ，任何输入的输出都能算出来。在这一部分里， $h$ 总是已知的。

③ 一个 impulse 输入：先平移，再缩放

设输入是 $A\,\delta(t-t_0)$ 。用两条性质各走一步：

time-invariant： $\delta(t) \to h(t)$ ，所以晚 $t_0$ 的 impulse 产生晚 $t_0$ 的输出： $\delta(t-t_0) \to h(t-t_0)$ 。
linear：输入乘 $A$ ，输出也乘 $A$ ： $A\,\delta(t-t_0) \to A\,h(t-t_0)$ 。

A\,\delta(t-t_0) \;\to\; A\,h(t-t_0)

例题

例 1　一个 impulse

某系统的 impulse response 是 $h(t) = t\,e^{-t}u(t)$ ：从 0 开始，先升后降，在 $t = 1$ 达到最大值 $e^{-1}$ （两个一阶 RC 级串起来就是这种形状，C·03例 1 会算出来）。输入 $x(t) = 3\,\delta(t-2)$ 。求 $y(t)$ 、 $y(1)$ ，以及 $y$ 在哪个时刻最大、最大是多少。

读题。输入是一个 impulse，位置 $t_0 = 2$ ，面积 $A = 3$ 。

用上面的结论。 $y(t) = 3\,h(t-2)$ 。把 $h(t)$ 式子里的每一个 $t$ 都换成 $t-2$ ：前面那个 $t$ 、指数里的 $t$ 、 $u$ 里的 $t$ ：

y(t) = 3\,(t-2)\,e^{-(t-2)}\,u(t-2)

$u(t-2)$ 说明 $t \lt 2$ 时 $y = 0$ ：impulse 还没来，系统还没有反应。

代入数值。 $t = 1$ ： $u(-1) = 0$ ，所以 $y(1) = 0$ 。最大值： $h$ 在 $t = 1$ 最大，整个形状晚 2 秒、放大 3 倍，所以 $y$ 在 $t = 3$ 最大， $y(3) = 3\cdot 1\cdot e^{-1} = 1.104$ 。

输入：

t = 2

处一个面积 3 的 impulse。

输出：

h

的形状晚 2 秒、放大 3 倍。黑点是峰值

y(3)

。

检查

刚过 $t = 2$ 时 $y = 3\cdot 0\cdot e^{0} = 0$ ：这个 $h$ 本身从 0 开始，所以输出不跳变，平滑地升起来。峰值 = 面积 3 × $h$ 的峰值 $e^{-1}$ ✓。

例题

例 2　两个 impulse：各自响应再相加

某系统的 impulse response 是一个矩形： $h(t) = 1$ （ $0 \lt t \lt 2$ ），其他为 0。它把一个 impulse "保持" 2 秒。输入 $x(t) = 2\,\delta(t) + \delta(t-1)$ 。求 $y(t)$ 。

拆输入。 $x$ 是两个 impulse 之和： $2\delta(t)$ （位于 0、面积 2）和 $\delta(t-1)$ （位于 1、面积 1）。

每一块单独的输出。按 ③： $2\delta(t) \to 2h(t)$ ，在 $0 \lt t \lt 2$ 上等于 2。 $\delta(t-1) \to h(t-1)$ ，它在 $0 \lt t-1 \lt 2$ ，即 $1 \lt t \lt 3$ 上等于 1。

linear：总输出 = 两块之和。按 $t$ 分段，把每一段里"开着"的块加起来：

$t \lt 0$ ：两块都还没开始， $y = 0$ 。
$0 \lt t \lt 1$ ：只有第一块， $y = 2$ 。
$1 \lt t \lt 2$ ：两块都开着， $y = 2 + 1 = 3$ 。
$2 \lt t \lt 3$ ：第一块已经结束，只剩第二块， $y = 1$ 。
$t \gt 3$ ：两块都结束， $y = 0$ 。

输入：两个 impulse。

灰色虚线是

2h(t)

和

h(t-1)

，青色是它们的和。

例 2 的做法"每一块输入各自产生一个平移、缩放过的 $h$ ，再全部相加"，就是下一节推导 convolution 的全部思路。

④ causal 系统和 one-sided 信号

两个定义

causal（因果）系统： $h(t) = 0$ （ $t \lt 0$ ）。one-sided（单边）信号： $x(t) = 0$ （ $t \lt 0$ ）。

causal 的意思是"impulse 来之前系统没有反应"：输出不可能先于输入出现。真实电路都是 causal 的，上面两个例子里的 $h$ 也都是。one-sided 信号是从 $t = 0$ 才开始的信号，例如 $u(t)$ 、 $e^{-t}u(t)$ 。C·03会用这两条把 convolution 积分的上下限简化成 0 到 $t$ 。

常见错误

$h(t-2)$ 是把 $h$ 往右挪 2（ $t - 2 = 0$ 发生在 $t = 2$ ），不是往左。
只换了一部分 $t$ ：例 1 写成 $3t\,e^{-(t-2)}$ （前面的 $t$ 没换），或者漏掉 $u(t-2)$ （等于说 impulse 来之前系统已经有反应）。
impulse 的箭头高度是面积，不是函数值。