6.2 operator p 和 1/p：把求导、积分写成"乘法"

$f(t) = 6$，$\int_0^t 6\,d\alpha = 6t$，所以 $\frac1p[6u(t)] = 6t\,u(t)$：阶跃积分一次是斜坡 (ramp)。从图上看，宽 $t$、高 6 的矩形面积就是 $6t$。

第 1 步，写成从 0 开始的定积分：$\frac1p[\sin(3t)u(t)] = \Big[\int_0^t \sin 3\alpha\,d\alpha\Big]u(t)$。

第 2 步，找原函数并代入上下限。$\sin 3\alpha$ 的原函数是 $-\tfrac13\cos 3\alpha$：

第二项 $+\tfrac13$ 来自下限：$-(-\tfrac13\cos 0) = \tfrac13$。

第 3 步，乘 $u(t)$：$\frac1p[\sin(3t)u(t)] = \tfrac13(1 - \cos 3t)\,u(t)$。

核对：$t = 0$ 时结果是 $\tfrac13(1 - 1) = 0$ ✓，面积从 0 开始。如果只写不定积分 $-\tfrac13\cos 3t$，$t = 0$ 时是 $-\tfrac13$：面积还没开始累积就是负数，不可能。结果在 0 和 $\tfrac23$ 之间摆动、从不为负，因为 $\sin 3t$ 每个周期都是正的半周先来。

$\int_0^t 10e^{-5\alpha}\,d\alpha = \big[-2e^{-5\alpha}\big]_0^t = -2e^{-5t} + 2$，乘 $u(t)$：$2(1 - e^{-5t})\,u(t)$。从 0 开始，慢慢涨到 2。2 正好是整条指数曲线下的总面积 $\int_0^\infty 10e^{-5\alpha}\,d\alpha = 10/5$。

$f(t) = \sin 3t$，$f'(t) = 3\cos 3t$，$f(0) = \sin 0 = 0$。所以 $p[\sin(3t)u(t)] = 3\cos(3t)\,u(t)$，没有 impulse。波形 $\sin(3t)u(t)$ 在 $t = 0$ 只是从平的变成斜的（拐角），值不跳。

$f(t) = \cos t$，$f'(t) = -\sin t$，$f(0) = \cos 0 = 1$。所以 $p[\cos(t)u(t)] = -\sin(t)\,u(t) + \delta(t)$。波形 $\cos(t)u(t)$ 在 $t = 0$ 从 0 跳到 1，导数里就有一根面积为 1 的 impulse。

积回去。技巧 B：$\int_0^t -6e^{-3\alpha}\,d\alpha = \big[2e^{-3\alpha}\big]_0^t = 2e^{-3t} - 2$，得 $(2e^{-3t} - 2)\,u(t)$。

和原波形比。$2e^{-3t}u(t) - (2e^{-3t} - 2)u(t) = 2u(t)$：积回去少了一个 $2u(t)$。$t$ 很大时他的结果趋于 −2，原波形趋于 0，明显不对。

找出漏掉的项。漏掉的项 $m(t)$ 积分后必须正好补上 $2u(t)$，所以 $m = p[2u(t)] = 2\delta(t)$。正确答案是 $p[2e^{-3t}u(t)] = -6e^{-3t}u(t) + 2\delta(t)$，和技巧 C 一致：$f(0) = 2$。

这根 impulse 的面积 2 正好是波形在 $t = 0$ 从 0 跳到 2 的那一跳。$1/p$ 要把这一跳"积"回来，靠的就是它。

第 1 步，技巧 B 写成从 0 开始的定积分：$h(t) = \Big[\int_0^t \alpha^2e^{-\alpha}\,d\alpha\Big]u(t)$。

第 2 步，表格法。多项式 $\alpha^2$ 要求导两次才到 0，所以比上面 $\alpha e^{-\alpha}$ 那张表多一行：

第 3 步，代上下限。上限给 $-(t^2 + 2t + 2)e^{-t}$。下限 $\alpha = 0$ 处原函数等于 $-2$，减去它就是 $+2$：

第 4 步，用 $p$ 核对（技巧 C）。括号在 $t = 0$ 等于 $2 - 2 = 0$，没有 impulse。求导：$-(2t + 2)e^{-t} + (t^2 + 2t + 2)e^{-t} = t^2e^{-t}$ ✓，回到了被积函数。

看极限：$t \to \infty$ 时 $h \to 2$，正是整条曲线 $t^2e^{-t}$ 下的总面积。下限带出的常数 2，就是最后攒下的总量；丢了它，$h$ 会从 −2 开始、最后趋于 0，面积成了负的。