6·15

6.6 电路里的 impulse：电压、电流什么时候能跳

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impulse $\delta(t)$ 本身（面积为 1 的极限脉冲、strength、sampling property、 $\delta = pu$ 、有跳变的波形怎么求导）在 6·01 讲过。这一节只讲它在电路里的意思：一个 impulse 电流打进 capacitor，电压就跳；一个 impulse 电压加在 inductor 上，电流就跳。上一节例 2 的 $24\delta(t)$ 就是这样来的。

① impulse 电流 → capacitor 电压跳变

给一个 capacitor 送一个 impulse 电流 $Q\,\delta(t - a)$ ： $v = \frac{1}{Cp}[Q\,\delta(t-a)] = \frac{Q}{C}\,u(t-a)$ 。impulse 的累积面积是阶跃，所以电压在 $t = a$ 一下跳了 $Q/C$ 。impulse 的强度 $Q$ 就是一瞬间送进去的电荷，单位库仑。

capacitor

电流里有 $Q\,\delta(t-a)$ ⟺ 电压在 $t = a$ 跳 $\Delta v = Q/C$ 。电流里没有 impulse ⟺ 电压连续（6·04 ④）。

② impulse 电压 → inductor 电流跳变

对偶：给 inductor 加一个 impulse 电压 $\Lambda\,\delta(t-a)$ ： $i = \frac{1}{Lp}[\Lambda\,\delta(t-a)] = \frac{\Lambda}{L}\,u(t-a)$ ，电流跳 $\Lambda/L$ 。强度 $\Lambda$ 是一瞬间积累的 flux linkage，单位 Wb。

inductor

电压里有 $\Lambda\,\delta(t-a)$ ⟺ 电流在 $t = a$ 跳 $\Delta i = \Lambda/L$ 。电压里没有 impulse ⟺ 电流连续（6·10 ③）。

例题

例 1　两个最简单的数

(a) 空的 2 F capacitor，电流 $i = 6\delta(t)$ A。求 $v$ 。(b) 没有电流的 3 H inductor，电压 $v = 12\delta(t)$ V。求 $i$ 。

(a) $v = \frac{1}{2p}[6\delta(t)] = 3u(t)$ V：一瞬间送进 6 C，电压跳到 $6/2 = 3$ V 后保持。

(b) $i = \frac{1}{3p}[12\delta(t)] = 4u(t)$ A：一瞬间积累 12 Wb，电流跳到 $12/3 = 4$ A 后保持。

③ 什么时候会出现 impulse

正常电路里电流、电压都是有限的，所以 capacitor 电压、inductor 电流都连续，开关题直接用 $v_C(0^+) = v_C(0^-)$ 、 $i_L(0^+) = i_L(0^-)$ （第 14 讲就是这样）。只有开关强迫出一个"必须马上跳"的局面，又没有电阻限制电流时，才会有 impulse：

capacitor 电压跳：开关把电压不同的 capacitor（或 capacitor 和电压源）直接接成一个圈，KVL 要求它们的电压马上满足新关系，电荷一瞬间搬过去，电流是 impulse（6·13 例 2、下面例 2）。
inductor 电流跳：开关把一个有电流的 inductor 和别的 inductor（或电流源）直接串起来，KCL 要求它们的电流马上相等，电压是 impulse（下面例 3）。实际中这个大电压会让开关触点打火。

例题

例 2　impulse 电流（课本例 6.15）

$C_1 = 100$ nF 充到 12 V， $C_2 = 50$ nF 一直没电。 $t = 0$ 开关把两者并在一起。求之后的电压 $v$ 和流进 $C_2$ 的电流 $i$ 。

第 1 步，初始值： $v_{C1}(0) = 12$ V； $C_2$ 从没接过，由因果性 $v_{C2}(0) = 0$ 。

第 2 步， $t \gt 0$ 的 KCL：两个 capacitor 并联，电压都是 $v_+$ 。 $C_1$ 用 IC 模型，它"从 0 开始"那部分的电压是 $v_+ - 12u(t)$ 。对上面的节点，流出的电流之和为 0：

C_1\,p\big[v_+ - 12u(t)\big] + C_2\,p\,v_+ = 0

第 3 步，两边乘 $1/p$ （积分，把电流变成电荷，这就是 KCL in charge form）： $C_1(v_+ - 12u) + C_2v_+ = 0$ ，解出

\begin{aligned} v_+ &= \frac{C_1}{C_1 + C_2}\,12u(t) \\ &= \frac{100}{150}\times 12\,u(t) = 8u(t)\ \text{V} \end{aligned}

这就是电荷守恒： $100 \times 12 = 1200$ nC 分给 150 nF。

第 4 步，电流： $i = C_2\,p[8u(t)] = 50\ \text{nF} \times 8\ \text{V} \cdot \delta(t) = 400\ \text{nC}\cdot\delta(t)$ 。impulse 的强度单位是库仑，就是一瞬间搬过去的电荷。核对： $C_1$ 失去 $100 \times (12 - 8) = 400$ nC ✓。

例题

例 3　impulse 电压：突然切断 inductor 电流（课本例 6.21）

t \le 0

：SPDT 在左边，12 V 经 6 Ω 给 12 H 供电。

t = 0

：拨到右边，12 H 和空的 4 H 接成一个圈。

i

向下流过 12 H；

v

是 4 H 两端电压，上 + 下 −。

电路在 $t \le 0$ 处于 dc steady state。求 $i(t)$ 和 $v(t)$ 。

第 1 步， $t \le 0$ ：dc steady state，12 H 换导线： $i(0) = 12/6 = 2$ A。4 H 从没接过，电流 0。

第 2 步，跨过 $t = 0$ ：拨到右边以后，12 H 和 4 H 串成一个圈，电流必须马上相等。可 12 H 是 2 A、4 H 是 0，所以电流必须跳，电压里有 impulse。

第 3 步，用对偶的守恒量：圈里的总 flux linkage 不能突变（它是电压的积分，KVL 保证圈里电压之和为 0）。开关前 $12 \times 2 + 4 \times 0 = 24$ Wb，开关后同一个电流 $i$ 流过 $12 + 4 = 16$ H： $i = 24/16 = 1.5$ A。所以 $i(t) = 2$ A（ $t \le 0$ ），1.5 A（ $t \gt 0$ ）。

第 4 步，4 H 上的电压：圈里电流 $i$ 向下流过 12 H，就向上流过 4 H，也就是从 4 H 的 − 端流进。所以 4 H 从 + 端流进的电流是 $-1.5u(t)$ ， $v = 4\,p[-1.5u(t)] = -6\,\delta(t)$ V：一个强度 6 Wb、向下的 impulse。

能量：开关前 $\tfrac12 \times 12 \times 2^2 = 24$ J，开关后 $\tfrac12 \times 16 \times 1.5^2 = 18$ J，少了 6 J。理想电路里它消失在 impulse 里；真实的开关触点会打火，把这部分能量放掉。

④ 这一节的其他做法和术语

impulsive IC models（冲激型初始条件模型）：就是 6·13 ② 的"另一种等价画法"（C 并联电流 impulse $C\,v(0)\,\delta(t)$ ，L 串联电压 impulse $L\,i(0)\,\delta(t)$ ），推导和图都在那里。

KCL in charge form（电荷形式的 KCL）和 single element kind circuit（单一元件电路）。除了源只有一种元件的电路里，全是 capacitor 时节点方程的每一项都是 $Cp\,v$ ，两边乘 $1/p$ 后电流变电荷， $Cp\,v$ 变成 $C\,v$ ，方程和电阻电路的 $Gv$ 一模一样，电流源积分后变成"电荷源"（例 2 第 3 步）。节点方程的系数矩阵叫节点电容矩阵 (nodal capacitance matrix)：对角线 = 接在该节点上的 capacitor 之和，非对角 = −（两节点之间的 capacitor），和节点电导矩阵的规则一样。

inductor / capacitor 子电路的 Thévenin、Norton（课本例 6.20）。一个 $9u(t)$ A 电流源并在 2 H 上，再经 4 H 接到端口。开路时 4 H 没有电流， $v_{oc}$ = 2 H 上的电压 = $2p[9u(t)] = 18\,\delta(t)$ V。关掉电流源（换开路），从端口看进去是 2 H 串 4 H， $Z_{th} = 6p$ （6 H）。Norton： $i_{sc} = \frac{1}{6p}[18\delta(t)] = 3u(t)$ A。核对：端口短路时 2 H 和 4 H 并联分 9 A，4 H 分到 $\frac{2}{2+4}\times 9 = 3$ A ✓。