YC.
6·07

6.2 能量、无源、无损

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capacitor 叫"储能元件"，是因为它吸收的能量不变成热，而是存起来，以后还能还给电路。这一节推导它存了多少能量（w=12Cv2w = \tfrac12 Cv^2），说明功率的正负号怎么读，并解释 Davis 的两个定义 passive 和 lossless。

① 功率的正负号

按 passive sign convention（电流从 + 端流进），元件吸收的功率是 P(t)=v(t) i(t)P(t) = v(t)\,i(t)。P>0P \gt 0：元件正在从电路拿能量；P<0P \lt 0：元件正在把能量还给电路。电阻的 P=Ri2P = Ri^2 永远 ≥0\ge 0；capacitor 的 PP 可正可负，因为电压和电流可以反号（6·04 例 3 的后半段）。

② 存了多少能量

代入 i=Cdvdti = C\frac{dv}{dt}：

P=v⋅Cdvdt=ddt[12Cv2]P = v\cdot C\frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}\Big[\tfrac12 C v^2\Big]

（对 12Cv2\tfrac12 Cv^2 用链式法则求导，正好得到 CvdvdtCv\frac{dv}{dt}。）功率是能量的导数，所以到 tt 为止吸收的总能量是 w(t)=∫−∞tP dα=12Cv2(t)−12Cv2(−∞)w(t) = \int_{-\infty}^t P\,d\alpha = \tfrac12 Cv^2(t) - \tfrac12 Cv^2(-\infty)。单边波形 v(−∞)=0v(-\infty) = 0，第二项为 0：

储能公式 wC(t)=12C v2(t),wL(t)=12L i2(t)w_C(t) = \tfrac12 C\,v^2(t),\quad w_L(t) = \tfrac12 L\,i^2(t)

capacitor 的储能只由此刻的电压决定，和电压是怎么一步步来的无关。inductor 的式子是对偶（6·10）：C→LC \to L，v→iv \to i。单位：F × V² = (C/V) × V² = C·V = J。

例题

例 1　代公式

2 F capacitor 充到 3 V，存了多少能量？

w=12×2×32=9w = \tfrac12 \times 2 \times 3^2 = 9 J。

③ passive 和 lossless

两个定义

passive（无源）：元件吸收的总能量 w(t)w(t) 永远 ≥0\ge 0，也就是说它送出的能量不会比它吸收过的多。12Cv2≥0\tfrac12 Cv^2 \ge 0，所以 capacitor 是 passive 的。

lossless（无损，Davis 定义 6.3）：只要 vv 和 ii 最后都回到 0，总吸收能量 w(∞)w(\infty) 就是 0，即吸收过的能量全部还了回去。capacitor 满足：v(∞)=0v(\infty) = 0 时 w(∞)=12C⋅02=0w(\infty) = \tfrac12 C\cdot 0^2 = 0。inductor 也是 lossless 的；电阻不是，它吸收的能量变成了热。

例题

例 2　三角形电压：功率先正后负，能量先存后还（课本例 6.7 的同类）

用 6·04 例 3 的 capacitor：C=1C = 1 F，电压是 0 → 4 V → 0 的三角形（t=1t = 1 s 到顶，t=2t = 2 s 回到 0），电流在 0<t≤10 \lt t \le 1 是 +4 A，在 1<t≤21 \lt t \le 2 是 −4 A。求吸收的功率 P(t)P(t) 和能量 w(t)w(t)。

功率 = 电压 × 电流，逐段相乘。

  • 0<t≤10 \lt t \le 1：v=4tv = 4t，i=4i = 4，P=16tP = 16t W，从 0 线性升到 16 W。为正：capacitor 在吸收能量。
  • 1<t≤21 \lt t \le 2：v=8−4tv = 8 - 4t，i=−4i = -4，P=16t−32P = 16t - 32 W，从 −16 W 线性回到 0。为负：capacitor 在把能量还给电压源。
  • 其余时间 P=0P = 0。

能量用公式 w=12Cv2=12v2w = \tfrac12 Cv^2 = \tfrac12 v^2：w(0.5)=12×22=2w(0.5) = \tfrac12 \times 2^2 = 2 J，w(1)=12×42=8w(1) = \tfrac12 \times 4^2 = 8 J，w(1.5)=2w(1.5) = 2 J，w(2)=0w(2) = 0。

用功率的面积核对：0–1 s 的功率是三角形，面积 12×1×16=8\tfrac12 \times 1 \times 16 = 8 J ✓。1–2 s 是横轴下方的三角形，面积 −8-8 J，正好把存进去的 8 J 全部还回去，w(2)=0w(2) = 0 ✓。电压和电流最后都是 0，总能量也是 0：这就是 lossless。

1 2 −16 8 16 0 t [s] w(t) [J] P(t) [W]
1 2 4 8 0 t w(t) = ½Cv² v(t)
C=1C = 1 F，电压先升到 4 V 再降回 0。储能 w=12Cv2w = \tfrac12 Cv^2 先涨到 8 J，再全部还回电路：这就是 lossless。
检验 lossless 时

必须 v(∞)v(\infty) 和 i(∞)i(\infty) 都是 0。6·04 例 1 的电流脉冲最后是 0，但电压停在 6 V，能量还存着：w=12×2×62=36w = \tfrac12 \times 2 \times 6^2 = 36 J。这个波形不能拿来判断 capacitor 是否 lossless，它只说明能量被存住了（memory）。