YC.
6·12

6.4 dc steady state：C 断开、L 短路

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电路里的电源都是直流、并且已经接了很久时，很多电路里的电压、电流都会停在常数上。这时 capacitor 和 inductor 可以换成最简单的东西：断开和导线，整个电路变成一个电阻电路。开关题（6·13）求开关前的初始值也是先做这一步。

dc steady state（Davis 定义 6.4）

电路中所有电压、电流都是常数。

常数的导数是 0，代入两个元件的方程：

  • inductor：v=Lp i=L×0=0v = Lp\,i = L \times 0 = 0。电压为 0、电流由外电路决定的元件就是导线，所以 inductor 换成 short circuit（短路）。
  • capacitor：i=Cp v=C×0=0i = Cp\,v = C\times 0 = 0。电流为 0、电压由外电路决定的元件就是断开，所以 capacitor 换成 open circuit（开路）。

短路里的电流、开路两端的电压一般不是 0，它们由电路的其余部分决定，而且往往正是要求的量：inductor 电流 = 那根导线里的电流，capacitor 电压 = 那个断开处两端的电压。

做题步骤
  1. 读图，替换：每个 inductor 换成导线，每个 capacitor 换成断开。和断开的 capacitor 串联的元件也没有电流，上面没有压降。
  2. 解电阻电路：用串并联、分压、分流或节点法求出要的电流、电压。
  3. 读回原图：inductor 电流 = 对应导线里的电流；capacitor 电压 = 对应断开处两端的电压。需要的话再算能量 12Li2\tfrac12 Li^2、12Cv2\tfrac12 Cv^2。
2 Ω + − 12 V 2 H ↓I1 2 Ω 2 H ↓I2 2 Ω 2 Ω 2 F V
例 1（课本例 6.11，图 6.33）：已知处在 dc steady state。I1I_1、I2I_2 向下，VV 是 capacitor 电压，上 + 下 −。
2 Ω + − 12 V 2 Ω 2 Ω 2 Ω 断开 短路 短路
替换以后的直流等效（图 6.34）。
例题

例 1　课本例 6.11

求 I1I_1、I2I_2 和 VV。

第 1 步，替换：两个 2 H 换成导线，2 F 换成断开，得到第二张图。

第 2 步，读新图：12 V 源串 2 Ω 接到上母线。中间两条支路各只剩一个 2 Ω，都从上母线接到下母线，是并联。最右边支路是 2 Ω 串一个断开，没有电流，可以先不管。

第 3 步，求电流：两个 2 Ω 并联 = 1 Ω，和左边的 2 Ω 串联，总电阻 3 Ω，总电流 12/3=412/3 = 4 A。中间两条支路电阻相同，平分：I1=I2=2I_1 = I_2 = 2 A。这就是两个 inductor 的电流。

第 4 步，capacitor 电压：最右支路电流为 0，上面的 2 Ω 没有压降，所以 VV 等于上、下母线之间的电压 = 中间 2 Ω 两端的电压 = 2 Ω×2 A=42\ \Omega \times 2\ \text{A} = 4 V。

例题

例 2　电流源，和一个被 inductor 短路的电阻（先自己做）

6 A 6 Ω 3 Ω 0.5 F vC 2 H 4 Ω + − iL i
已知 dc steady state。求 inductor 电流 iLi_L、4 Ω 的电流 ii（都向下）、capacitor 电压 vCv_C（上 + 下 −），以及两个元件的储能。
看解答

第 1 步，替换：2 H 换导线，0.5 F 换断开。

第 2 步，读新图：那根导线（原来的 2 H）把右边上面的节点直接接到底线，4 Ω 两端被它短路，电压是 0，所以 i=0i = 0。这里最容易错：4 Ω 和 2 H 确实并联，但 dc 时 2 H 是导线，电流全走导线，不按"电阻分流"分。

第 3 步，解电阻电路：剩下 6 A 电流源接在两条支路上：3 Ω，和"6 Ω 再接导线到底线"。3∥6=2 Ω3 \parallel 6 = 2\ \Omega，左边上面节点的电压 6×2=126 \times 2 = 12 V。6 Ω 那支 12/6=212/6 = 2 A，全部流进导线，所以 iL=2i_L = 2 A；3 Ω 那支 4 A。核对 KCL：4+2=64 + 2 = 6 A ✓。

第 4 步，读回原图：capacitor 并在左边上面节点和底线之间，vC=12v_C = 12 V。储能 wL=12×2×22=4w_L = \tfrac12 \times 2 \times 2^2 = 4 J，wC=12×0.5×122=36w_C = \tfrac12 \times 0.5 \times 12^2 = 36 J。

不是所有直流电路都会到 dc steady state（课本例 6.10）

2 H inductor 直接接在 12 V 源上，t=0t = 0 接通：i=12p[12u(t)]=6t u(t)i = \frac{1}{2p}[12u(t)] = 6t\,u(t) A，一直涨，永远不是常数。2 F capacitor 直接接电流源同理。这种"有界的输入产生无界的输出"的电路叫 unstable（不稳定）；stable（稳定）的意思是：所有独立源有界 ⟹ 每个响应都有界（第 10 章细讲）。题目里说"假设 dc steady state"，就是告诉你电路是稳定的、已经停下来了。

"奇异"的 dc steady state：并联 inductor、串联 capacitor

如果两个 inductor 直接并联，换成导线以后是两根并联的导线，电流怎么分都满足 KVL，替换模型给不出答案。串联的 capacitor 换成断开以后同理，电压怎么分都满足 KCL。Davis 的办法是回到电路是怎么到达稳态的：在变化的过程中元件不是导线或断开，分流、分压公式（6·10、6·08）在每个时刻都成立，稳态时照样成立。

例题

例 3　两个 inductor 直接并联（课本例 6.12）

9 A 电流源接在并联的 3 H、6 H 上，已知 dc steady state。求两个 inductor 的电流 I1I_1（3 H）、I2I_2（6 H）。

为什么卡住：两个都换成导线，KCL 只给出 I1+I2=9I_1 + I_2 = 9 A，缺一个方程。

技巧 G：假设电流源从 0 慢慢升到 9 A。变化过程中用 inductor 分流公式（6·11 例 2）：i1=63+6 is=23 isi_1 = \frac{6}{3 + 6}\,i_s = \frac23\,i_s，i2=13 isi_2 = \frac13\,i_s。这个比例在每个时刻都成立，源停在 9 A 以后：I1=6I_1 = 6 A，I2=3I_2 = 3 A。

另一种看法：并联 inductor 两端电压时时相同，积分后 flux linkage 也相同：3I1=6I23I_1 = 6I_2。和 I1+I2=9I_1 + I_2 = 9 联立，同样得 6 A、3 A，flux linkage 都是 18 Wb。

对偶：12 V 接 2 F 串 4 F，换成断开后不知道电压怎么分。用"反过来"的分压：v2F=46×12=8v_{2F} = \frac{4}{6}\times 12 = 8 V，v4F=4v_{4F} = 4 V；电荷 2×8=4×4=162 \times 8 = 4 \times 4 = 16 C，相同 ✓。