YC.
6·09

6.8 兼容单位：不写 10 的幂

About 2 minBook · Davis 6.8
← PreviousNext →

capacitor 题里常常同时出现 mA、µs、nF，硬换成 A、s、F 要写一串 10−310^{-3}、10−610^{-6}、10−910^{-9}，容易错。Davis 6.8 的办法是选一组彼此"配套"的单位，整题直接用数字算，答案的单位自动正确。

system of compatible units（兼容单位制）

如果一个关系式两边的单位前缀乘起来正好相等，这几个单位就可以一起用，不用换算。

看 q=i tq = i\,t：mA × µs = 10−310^{-3} A × 10−610^{-6} s = 10−910^{-9} C = nC。所以电流用 mA、时间用 µs 时，电荷直接就是 nC。再看 v=q/Cv = q/C：nC ÷ nF = 10−9/10−910^{-9}/10^{-9} = 1，单位就是 V。于是 mA、µs、nC、nF、V 是一组兼容单位：峰值 4 mA、宽 6 µs 的三角形电流，面积 12×6×4=12\tfrac12 \times 6 \times 4 = 12 nC，打进 6 nF 就是 2 V（6·08 例 5）。

例题

例 1　斜坡电流（课本例 6.28）

5 nF capacitor（原来没电），电流 i(t)=20t u(t)i(t) = 20t\,u(t) mA，tt 以 µs 计。求 v(t)v(t) 和 t=2t = 2 µs 时的电压。

用 mA、µs、nF、V：

v=15p[20t u(t)]=15[∫0t20α dα]u(t)=15⋅10t2 u(t)=2t2 u(t) V\begin{aligned} v &= \frac{1}{5p}\big[20t\,u(t)\big] \\ &= \frac15\Big[\int_0^t 20\alpha\,d\alpha\Big]u(t) \\ &= \frac15 \cdot 10t^2\,u(t) = 2t^2\,u(t)\ \text{V} \end{aligned}

斜坡电流积分出来是抛物线。t=2t = 2 µs：v=2×4=8v = 2 \times 4 = 8 V。

用 SI 单位核对：到 2 µs 时电流曲线下是一个三角形，底 2×10−62\times10^{-6} s、高 40 mA，面积 12×2×10−6×0.04=4×10−8\tfrac12 \times 2\times10^{-6} \times 0.04 = 4\times10^{-8} C，除以 5×10−95\times10^{-9} F 得 8 V ✓。

例题

例 2　另一组：µA、µs、pC、pF、V

100 pF capacitor（原来没电），20 µA 恒流灌 30 µs。求末了的电压。

µA × µs = 10−1210^{-12} C = pC，pC ÷ pF = V。电荷 20×30=60020 \times 30 = 600 pC，电压 600/100=6600/100 = 6 V。

常用的几组（v t=L iv\,t = L\,i 那一行给 inductor 用，6·10）：

关系可以一起用的单位
v=Riv = RiV、kΩ、mA；或 V、MΩ、µA
q=Cvq = CvµC、µF、V；pC、pF、V；nC、µF、mV
q=itq = it（电流 × 时间）µC = mA·ms；nC = mA·µs；pC = µA·µs
i t=C vi\,t = C\,vmA、µs、nF、V；µA、µs、pF、V；mA、ms、µF、V
v t=L iv\,t = L\,iV、µs、mH、mA；V、ms、H、mA