6.2 capacitor：一个会"存电荷"的水箱

这一节认识第一个储能元件 capacitor。它的电压和电流不成正比，而是"电流 = $C$ × 电压的斜率"，或者反过来"电压 = 累计流进的电荷 ÷ $C$"。

① capacitor 是什么

实物 capacitor 是两块金属板，中间夹一层绝缘的电介质 (dielectric)。电荷穿不过电介质：电流从 + 端流进时，正电荷堆在 + 端那块板上，同样多的正电荷从另一块板被推出去，于是两块板带上等量异号的电荷 $+q$、$-q$，板间出现电压。实验发现电荷和电压成正比：

② 电压和电流的关系

电路分析要的是 $v$ 和 $i$ 的关系。电流就是电荷流进的速率，$i = \frac{dq}{dt}$。把 $q = Cv$ 两边对时间求导（$C$ 是常数）：

$$i(t) = C\,\frac{dv}{dt}$$

反过来，电荷是电流的累积：从很久以前到现在 $t$ 流进去的总电荷是 $q(t) = \int_{-\infty}^{t} i(\alpha)\,d\alpha$。两边除以 $C$：

$$v(t) = \frac{1}{C}\int_{-\infty}^{t} i(\alpha)\,d\alpha$$

这两个式子是同一件事的两种说法：

• 已知电压求电流用第一个：电流 = $C$ × 电压曲线的斜率。电压不变（斜率 0），电流就是 0；电压涨得越快，电流越大。
• 已知电流求电压用第二个：电压 = 电流曲线从 $-\infty$ 到 $t$ 下面的面积 ÷ $C$。积分上限 $t$ 跟着时间往前走，Davis 叫它 running integral（动态积分）。$\alpha$ 是积分用的哑变量，只是为了和上限 $t$ 区分开。

Davis 的积分从 $-\infty$ 开始，是一个定积分，结果里没有 +C。对单边波形，$t \le 0$ 时电流是 0，那一段面积也是 0，所以实际上只用从 0 积到 $t$。

③ 从任意时刻 $t_0$ 开始积：初始值形式

把 $\int_{-\infty}^{t}$ 在某个时刻 $t_0$ 处拆成两段：$\int_{-\infty}^{t_0}$ 那一段除以 $C$ 正好是 $v(t_0)$，剩下的是从 $t_0$ 到 $t$ 的面积。于是

分段画波形的方法就是把这个式子一段一段地用，每段的 $t_0$ 取这一段的起点：

1. 在每个跳变点、拐点处把时间轴切开，每一段里电流是常数（或一条直线）。
2. 从单边波形的 $v = 0$ 出发，一段一段往后走：段末电压 = 段初电压 + 这一段的面积 ÷ $C$。矩形面积 = 高 × 宽，三角形 = ½ × 底 × 高，横轴下方的面积取负号。
3. 段内怎么连：电流是常数 → 电压是直线（ramp）；电流是斜线 → 电压是抛物线；电流是 0 → 电压保持不变。
4. 把各断点处的电压值标在图上，按上一步的形状连起来。

④ capacitor 电压一般不能跳变

为什么：要让电压在一瞬间（时间 → 0）跳 $\Delta v$，就得在一瞬间送进 $C\,\Delta v$ 的电荷。有限的电流在一瞬间只能送进几乎为 0 的电荷，所以做不到。用初始值形式看更直接：$v(t_0 + \varepsilon) - v(t_0) = \frac1C\int_{t_0}^{t_0+\varepsilon} i\,d\alpha$，电流有界时右边随 $\varepsilon \to 0$ 趋于 0。例 1、例 2 里电流都在跳，电压都只是拐弯。