6·06

6.2 impedance operator Z(p) 和 admittance operator Y(p)：广义欧姆定律

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有了 $p$ ，capacitor 的关系写出来就像欧姆定律。这一节把这个相似性说清楚：给每种元件一个"广义电阻" $Z(p)$ 。以后串并联、分压分流都可以照电阻的办法做（6·08、6·10、6·11 都靠它）。

对比一下。电阻： $v = R\,i$ ， $i = G\,v$ （ $G = 1/R$ ）。capacitor： $v = \frac{1}{Cp}\,i$ ， $i = Cp\,v$ 。capacitor 的式子里， $\frac{1}{Cp}$ 站在 $R$ 的位置上， $Cp$ 站在 $G$ 的位置上。

把

p

当成一个数，三种元件都写成"电压 = Z × 电流"，所以串联相加、并联倒数和这些规则全部照搬。

impedance operator（阻抗算子，也叫 operator impedance） $Z(p)$ 就是站在 $R$ 位置上的那个东西，admittance operator（导纳算子，operator admittance） $Y(p)$ 是站在 $G$ 位置上的那个：

广义欧姆定律

\begin{gathered} v(t) = Z(p)\,i(t),\qquad i(t) = Y(p)\,v(t), \\ Y(p) = \frac{1}{Z(p)} \end{gathered}

电阻： $Z = R$ 。capacitor： $Z = \frac{1}{Cp}$ ， $Y = Cp$ 。inductor（6·10）： $Z = Lp$ ， $Y = \frac{1}{Lp}$ 。

$Z(p)$ 不是一个数，而是一个"操作"： $Z(p)\,i(t)$ 的意思是把这个操作作用在电流波形上，得到电压波形。Davis 在电路图上直接把 capacitor 标成 $\frac{1}{Cp}$ ，就像把电阻标成 $R$ 。好处是：串联、并联、分压、分流、节点法、Thévenin 这些前五章的方法，推导里只用到 KCL、KVL 和" $v = Ri$ "这种线性关系，把 $R$ 换成 $Z(p)$ 以后推导照样成立。只要电路里除了源只有一种元件， $p$ 最后都会约掉（6·11）。

例题

例 1　已知电流求电压

2 F capacitor，电流 $i(t) = 4u(t)$ A（ $t = 0$ 接上一个 4 A 恒流源）。求 $v(t)$ 。

$Z(p) = \frac{1}{2p}$ ，所以 $v = \frac{1}{2p}[4u(t)] = \frac12\cdot\frac1p[4u(t)]$ 。按 6·05 例 1， $\frac1p[4u] = 4t\,u(t)$ ，所以 $v(t) = 2t\,u(t)$ V：电压以 2 V/s 一直线性上升。（和 6·04 例 1 的前 3 秒一样，只是这次电流不停。）

例题

例 2　已知电压求电流

0.5 F capacitor 两端电压 $v(t) = 3\sin(4t)\,u(t)$ V。求 $i(t)$ 。

$Y(p) = Cp = 0.5p$ ，所以 $i = 0.5\,p[3\sin(4t)u(t)]$ 。用 6·05 技巧 C： $f(t) = 3\sin 4t$ ， $f'(t) = 12\cos 4t$ ， $f(0) = 0$ ，没有 impulse。所以 $i(t) = 0.5 \times 12\cos(4t)\,u(t) = 6\cos(4t)\,u(t)$ A。

例题

例 3　电压在 t = 0 跳变：电流里有 impulse

同一个 0.5 F capacitor，改成 $v(t) = 3\cos(4t)\,u(t)$ V。求 $i(t)$ 。

$f(t) = 3\cos 4t$ ， $f'(t) = -12\sin 4t$ ， $f(0) = 3$ 。技巧 C： $p[3\cos(4t)u] = -12\sin(4t)\,u(t) + 3\delta(t)$ 。乘 0.5：

i(t) = -6\sin(4t)\,u(t) + 1.5\,\delta(t)\ \text{A}

电压在 $t = 0$ 从 0 跳到 3 V，capacitor 要在一瞬间得到 $0.5 \times 3 = 1.5$ C 的电荷，这就是那根面积 1.5 的 impulse。这和 6·04 ④ 的连续性一致：电压能跳，只因为电流里有 impulse（6·15）。

读法

$\frac{1}{Cp}$ 是 $\frac{1}{C\cdot p}$ （先积分再除以 $C$ ），不是 $\frac{1}{C}\cdot p$ 。 $Z(p)$ 总是从左边作用在波形上：写 $Z(p)\,i(t)$ ，不写 $i(t)\,Z(p)$ 。

元件	impedance operator Z(p)	admittance operator Y(p)	串并联规则像
电阻 R	$R$	$1/R = G$	电阻本身
capacitor C	$\dfrac{1}{Cp}$	$Cp$	电导：并联相加（6·08）
inductor L	$Lp$	$\dfrac{1}{Lp}$	电阻：串联相加（6·10）

例 1 已知电流求电压

例 2 已知电压求电流

例 3 电压在 t = 0 跳变：电流里有 impulse

例 1　已知电流求电压

例 2　已知电压求电流

例 3　电压在 t = 0 跳变：电流里有 impulse