6.2 capacitor 串并联、分压分流

这一节的电路图都按节点上色：同一种颜色 = 同一个节点。两个元件两端的颜色完全相同 → 并联；某个颜色只碰到两个元件 → 这两个元件串联。

电荷：$q = C_{eq}\,v = 2 \times 9 = 18$ C，两个 capacitor 上都是 18 C（串联电荷相同）。电压：3 F 上 $18/3 = 6$ V，6 F 上 $18/6 = 3$ V。

核对：$6 + 3 = 9$ V ✓；分压公式 $v_{3F} = \frac{6}{3 + 6}\times 9 = 6$ V ✓，分子是另一个的 6 F。

电压：像 6·04 例 1 那样一段段积：$0 \lt t \le 1$ 时 $v = 12t/6 = 2t$ V，之后保持 $v(1) = 2$ V。分流：$i_{2F} = \frac{2}{6}\times 12 = 4$ A，$i_{4F} = \frac{4}{6}\times 12 = 8$ A（只在 $0 \lt t \le 1$ 时有）。

核对：2 F 拿到 4 C，电压 $4/2 = 2$ V；4 F 拿到 8 C，电压 $8/4 = 2$ V。两个电压相等 ✓（并联）。

每个单独算（6·04 ③ 的初始值形式，$t_0 = 0$）：3 F：$v_1 = 1 + \frac{6t}{3} = 1 + 2t$ V；6 F：$v_2 = 5 + \frac{6t}{6} = 5 + t$ V。总电压 $v = v_1 + v_2 = 6 + 3t$ V。

用等效 capacitor 算：$v = 6 + \frac{6t}{2} = 6 + 3t$ V ✓。

分压公式在这里会错：$\frac{6}{3+6}\,v = 4 + 2t$，真正的 $v_1 = 1 + 2t$，差了 3 V。分压公式只适用于电流带来的那部分：新增的 $3t$ 按 $\frac{6}{9}$ 分给 3 F 是 $2t$ ✓；初始电压各是各的。

上色只用三种颜色：中间竖线把 c、d 连成同一个节点（橙）；右顶点经长导线接到 b（绿）；上面绕的一圈把 1 µF 的上端接回 a（蓝）。

答案：$C_{eq} = 5$ µF。核对（电荷守恒）：令 $v_a = 1$ V、$v_b = 0$。橙色节点原来不带电，连在它上面的极板电荷加起来为 0：$(2 + 4)(v_m - 1) + (10 + 2)\,v_m = 0$，$v_m = \tfrac13$ V。从 a 送进的电荷 $1 \times 1 + 6 \times \tfrac23 = 5$ µC，$C_{eq} = 5$ µF ✓。

看漏中间那根导线，会把上下两条路各当成串联：$(2 \text{ 串 } 10) + (4 \text{ 串 } 2) + 1 = 4$ µF，错了。c 除了 2 µF、10 µF 还连着那根导线，它们不是串联。

① 单位（6·09）：mA × µs = nC，nC ÷ nF = V，整题不写 10 的幂。

② 化简网络：

③ 电荷走哪儿。a（蓝）只连着电流源和 3 nF，所以送进来的电荷全部穿过 3 nF（串联，电荷相同），再全部落到 x–b 的 6 nF 上：$v_x = q/6$，和 3 nF 的大小无关。

④ 设计 $I$。$v_x = 2$ V 需要 $q = 6 \times 2 = 12$ nC。三角形面积 $\tfrac12 \times 6 \times I = 3I$，所以 $I = 4$ mA。

⑤ 波形。电流是斜线，面积是抛物线（6·04 ③ 第 3 步）。上升段 $0 \lt t \le 3$：$i = \tfrac43 t$，$q = \tfrac23 t^2$，$v_x = t^2/9$，$t = 3$ 时 1 V（面积正好一半）。下降段 $3 \lt t \le 6$：还没灌进去的是一个小三角形，面积 $\tfrac23(6-t)^2$，所以 $v_x = 2 - (6-t)^2/9$。$t \gt 6$：保持 2 V。电流连续，所以 $v_x$ 在 3 µs、6 µs 处都没有拐角。

⑥ 端口电压，两种算法：等效 2 nF，$v_{ab} = 12/2 = 6$ V；或者 3 nF 上 $12/3 = 4$ V，加 $v_x = 2$ V，也是 6 V ✓。反过来的分压也对得上：$v_x = \frac{3}{3+6}\times 6 = 2$ V ✓。电荷：4 nF 上 8 nC、2 nF 上 4 nC，合计 12 nC ✓。